苏本堂 第五节可降阶的高阶微分方程 一、ym)=f(x)型的微分方程 二、y'=x,y)型的微分方程 三、y=y,y)型的微分方程
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第五节 可降阶的高阶微分方程 一、y (n)=f (x)型的微分方程 二、y=f(x y)型的微分方程 三、y=f(y y)型的微分方程
一、m=f(x)型的微分方程 方程的解法 积分n次 y(-D=[f(x)dx+C,y-2=[I[f(x)dx+Clx+C2, 例1求微分方程y'=e2x-cosx的通解 解对所给方程接连积分三次，得 r-e-smx+G, Le2x+cosx+Cx+C2 y-x+CCtC 这就是所给方程的通解
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 2 3 2 1 2 2 1 sin 8 1 y e x C x C x C x = + + + + 一、y (n)=f (x)型的微分方程 方程的解法 积分n次 1 ( 1) y f (x)dx C n = + − 1 2 ( 2) y [ f (x)dx C ]dx C n = + + − 1 ( 1) y f (x)dx C n = + − 1 2 ( 2) y [ f (x)dx C ]dx C n = + + − 1 ( 1) y f (x)dx C n = + − 1 2 ( 2) y [ f (x)dx C ]dx C n = + + − 解 对所给方程接连积分三次得 例1 求微分方程y=e 2x -cos x 的通解 1 2 sin 2 1 y e x C x = − + 1 2 2 cos 4 1 y e x C x C x = + + + 这就是所给方程的通解
山东农业大 主计 、:苏本堂 例2.质量为m的质点受力F的作用沿ox轴作直线 运动，设力F仅是时间t的函数：F=F().在开始时刻 t=0时F(0)=F。,随着时间的增大，此力F均匀地减 小，直到t=T时F(T)=0.如果开始时质点在原点，且 初初速度为0，求质点的运动规律 解据题意有 0-》 m FF E(1- -0=0, d7=0=0 对方程两边积分，得
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线 运动, 在开始时刻 随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减 直到 t = T 时 F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点, 解 据题意有 t F o T F0 F = 0 (1 ) t F T = − (1 ) 0 T t F − t = 0 时 设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 小, 初初速度为0, 求质点的运动规律. 且 对方程两边积分, 得
dx _Fo.(t- dt m 27+ 利用初始条件 =0=0得C1=0,于是 dx dx_Fo(t- dt m 两边再积分得x= 67)+G 再利用x=0=0得C2=0,故所求质点运动规律为 2m
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 1 2 0 ) 2 ( d d C T t t m F t x = − + 利用初始条件 0, 得C1 = 于是 ) 2 ( d d 2 0 T t t m F t x = − 两边再积分得 2 2 3 0 ) 2 6 ( C T t t m F x = − + 再利用 0, 得 C2 = 故所求质点运动规律为 ) 3 ( 2 3 0 2 T t t m F x = −
二、y"=f(x,y)型的微分方程 设y'=p(x),则y”=p',原方程化为一阶方程 p'=f(x,p) 设其通解为 p=0(x,C) 则得 y'=0(x,C1) 再一次积分，得原方程的通解 y=∫p(x,C)dx+C2
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 y = f (x, y ) 型的微分方程 设 y = p(x) , 原方程化为一阶方程 设其通解为 ( , ) C1 p = x 则得 ( , ) C1 y = x 再一次积分, 得原方程的通解 1 d 2 y = (x,C ) x +C 二