1-/ 4.数量积的坐标表示 设a=a,i+a,j+a.元b=bi+b,j+b.K,则 a.B=(as i+ay j+aK)(bsi+by j+bk) i=万=元=1，ij=jk=ki=0 a.b=axbx +ayby +a-b 两向量的夹角公式： 当a,b为非零向量时，由于a.b=a‖bcos0,得 axbx +ayby +a-b- c0S0= a.b a va+a;+a2 ++b2
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 4. 数量积的坐标表示 设 则 = 0 x x y y z z =a b + a b + a b 当 为非零向量时, cos = = x x y y z z a b + a b + a b 2 2 2 x y z a + a + a 2 2 2 x y z b + b + b 由于 a b cos a a i a j a k , = x + y + z b b i b j b k , = x + y + z ( a i + a j + a k ) x y z (b i b j b k ) x + y + z i j = j k = k i a b a b 两向量的夹角公式: , 得
例2.已知三点M(1,1,1),A(2,2,1),B(2,1,2),求 ∠AMB A 解：MA=(1,1,0),MB=(1,0,1) B 则 COs∠AMB= MA.MB M MAMB 1+0+01 √2√2 2 故 ∠AMB= π 3 P
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 MA = ( ), MB = ( ) = B M 例2. 已知三点 M (1,1,1), A( 2,2,1),B( 2,1,2), AMB . A 解: 1, 1, 0 1, 0, 1 则 cos AMB = 1+ 0 +0 2 2 AMB = 求 MA MB MA MB 故
例3.设均匀流速为下的流体流过一个面积为A的平 面域，且y与该平面域的单位垂直向量的夹角为0， 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度 为p). 解：P=DA cos0 为单位向量 =pAv.n 单位时间内流过的体积 Av cose
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 为 ) . 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度 例3. 设均匀流速为 的流体流过一个面积为 A 的平 面域 , 与该平面域的单位垂直向量 A 解: 单位时间内流过的体积 P = = A 且 的夹角为 v v v n 为单位向量