本 第六章定积分的应用 第一节 定积分的元素法 第二节 定积分在几何学上的应用 第三节 定积分在物理学上的应用
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第六章 定积分的应用 第一节 定积分的元素法 第二节 定积分在几何学上的应用 第三节 定积分在物理学上的应用
第一节 定积分的元素法 回顾：曲边梯形求面积的问题 曲边梯形由连续曲线=孔x) (x)≥0)、x轴与两条直线x=a x=b所围成 A=f(x)dx 面积表示为定积分的步骤如下： 1)把区间[a,b]分成n个长度为△x,的小区间，相 应的曲边梯形被分为个小窄曲边梯形，第个小窄 曲边梯形的面积为△4，则4=之△4
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第一节 定积分的元素法 回顾: 曲边梯形求面积的问题 = b a A f (x)dx a b x y o y = f (x) 曲边梯形由连续曲线y=f(x) (f(x)≥0) 、 x轴与两条直线x=a x=b 所围成. 面积表示为定积分的步骤如下: 1）把区间[a,b]分成n个长度为 的小区间，相 应的曲边梯形被分为个小窄曲边梯形，第i个小窄 曲边梯形的面积为 = = n i Ai A 1 Ai , 则 i x
(2)计算△A,的近似值 △4≈f(5)△x, 5,∈Ax (3)求和，得A的近似 直A≈∑f5)A, (4)求极限，得A的精确值 A=m∑f5,)A=心fx)dk 0 提示 若用△A表示任一小区间 [x,x+△x上的窄曲边梯形的面积，则 y=f(x) A=∑△A,并取△A≈f(x)dc,于 是A≈∑f(x)d A=1im2f5,)A,=心f(x)c Olx奶x →0 面积元素
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 i i i A f ( )x i i x （3）求和，得A的近似值 ( ) . 1 i i n i A f x = （2）计算 Ai 的近似值 （4） 求极限，得A的精确值 = b a i i f (x)dx n i A = f x = → lim ( ) 1 0 提示 若用A 表示任一小区间 [x, x + x]上的窄曲边梯形的面积，则 A = A，并取A f (x)dx，于 是 A f (x)dx ( ) . = b a f x dx i i n i A = f x = → lim ( ) 1 0 y o a x x + dx b x y = f (x) dA 面积元素
一、 可用定积分解决的问题 (1)U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量； (2)U对于区间[a,b]具有可加性，就是说，如果把区间 [a,b]分成许多部分区间，则U相应地分成许多部分量， 而U等于所有部分量之和； (3)部分量AU的近似值可表示为.f(5)△x,; 就可以考虑用定积分来表达这个量· U=f(x)dx
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 (1)U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量； (2)U对于区间[a,b]具有可加性，就是说，如果把区间 [a,b]分成许多部分区间，则U相应地分成许多部分量， 而U 等于所有部分量之和； (3)部分量 U 的近似值可表示为 f x ( ) i i ； 就可以考虑用定积分来表达这个量 ． 一、可用定积分解决的问题 = b a U f (x)dx
主 二、利用元素法化为定积分的一般步骤： (1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为 积分变量，并确定它的变化区间[α，b]; (2)设想把区间分成个小区间，取其中任一小区 间并记为[x,x+dx],求出相应于这小区间的部分量△U 的近似值一微分表达式 dU=f(x)dx (3)以所求量U的元素fx)dx为被积表达式，在区间 [a,b]上作定积分，得， U=["f(x)dx 即为所求量U的积分表达式 这个方法称为元素法
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 二、利用元素法化为定积分的一般步骤： (1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为 积分变量，并确定它的变化区间[a,b]； (2)设想把区间分成n个小区间，取其中任一小区 间并记为[x,x+dx]，求出相应于这小区间的部分量ΔU 的近似值_微分表达式 dU = f (x) dx (3)以所求量U的元素f(x)dx为被积表达式，在区间 [a,b]上作定积分，得， 即为所求量U的积分表达式. = b a U f (x)dx 这个方法称为元素法