1东农大 苏本堂 第六节高阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程举例 二、线性齐次微分方程的解的结构 三、线性非齐次微分方程的解的结构
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第六节 高阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程举例 二、线性齐次微分方程的解的结构 三、线性非齐次微分方程的解的结构
一、二阶线性微分方程举例 例1.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上， 当重力与弹性力抵消时，物体处于平衡状态，若用手向 下拉物体使它离开平衡位置后放开，物体在弹性力与阻 力作用下作往复运动，阻力的大小与运动速度 成正比，方向相反.建立位移满足的微分方程 解：取平衡时物体的位置为坐标原点， 建立坐标系如图.设时刻t物位移为x(), (1)自由振动情况.物体所受的力有： 弹性恢复力f=-cx (虎克定律)
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 力作用下作往复运动, 解: 阻力的大小与运动速度 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 若用手向 物体在弹性力与阻 取平衡时物体的位置为坐标原点, 建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t). (1) 自由振动情况. 弹性恢复力 物体所受的力有: (虎克定律) 成正比, 方向相反.建立位移满足的微分方程
主 方本 阻力R=-“ dx 据牛顿第二定律得 d2x d/2 =-cx-u dt 令2n=4,k2=C, 则得有阻尼自由振动方程 m m d2x. dx +2n +k2x=0 dt2 t (2)强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力 F=Hsin pt作用，令h=H,则得强迫振动方程 m x2kx=hsinpt dt
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 据牛顿第二定律得 , 2 m c 2 , k = m n 令 = 则得有阻尼自由振动方程: 0 d d 2 d d 2 2 2 + + k x = t x n t x 阻力 (2) 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外力 F = H sin pt 作用，令 ， m h H = 则得强迫振动方程: k x h pt t x n t x sin d d 2 d d 2 2 2 + + =
例2.设有一个电阻R,自感L,电容C和电源E串 联组成的电路，其中R,L,C为常数，E=Em sin@t, 求电容器两两极板间电压。所满足的微分方程 提示：设电路中电流为()，极板 R 上的电量为q(),自感电动势为E? 由电学知 i i= .We-g.EL=-1. dq -q dt 根据回路电压定律： 在闭合回路中，所有支路上的电压降为0 E-L _4-Ri=0 di dt C
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 求电容器两两极板间电压 0 d d − − − Ri = C q t i E L 例2. 联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 , 所满足的微分方程 . uc 提示: 设电路中电流为 i(t), ∼~ ‖ L E R K C + q − q 上的电量为 q(t) , 自感电动势为 , i EL 由电学知 根据回路电压定律: 设有一个电阻R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串 极板 在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0
化为关于u的方程：注意i=C dlc,故有 CdiccEsint d 12 dt 1 令阝= R 串联电路的振荡方程： duc+2 duc += 2 dt2 dt sinot LC 如果电容器充电后撤去电源(E=0),则得 d2uc+2Bdf+®o4c=0
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 L LC R 1 , 2 令 = 0 = t LC E u t u t u m C C C sin d d 2 d d 2 2 0 2 + + = 串联电路的振荡方程: 如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得 0 d d 2 d d 2 2 0 2 + + C = C C u t u t u ~ ‖ L E R K C + q − q i 2 2 d d t u LC C t u RC C d d + + uC E t = m sin 化为关于 uc 的方程: 故有