东液 第三节齐次方程 1.齐次方程 2.可化为齐次的方程
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第三节 齐次方程 2.可化为齐次的方程 1.齐次方程
山东农业大 本 一、 齐次方程 形 d=p(点的方程叫做齐次方程 dy 解法令山则 =u+x u dx x' 代入原方程得 du u+x p(u） dx du dx 分离变量： p(u)-u x 两边积分，得 du p(u)-u 积分后再用∑代替弘，便得原方程的通解 X
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、齐次方程 形如 的方程叫做齐次方程 . 令 , x y u = 代入原方程得 ( ) d d u x u u + x = x x u u u d ( ) d = − 两边积分, 得 = − x x u u u d ( ) d 积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解. 解法: 分离变量:
例1解方程2+x2少=少 dxdx 解原方程可写成 dy y2 dx XV-x2 -1 X 令其=，即，则得 u+x du u2 d 即 分离变量，得1-ldhu= 两边积分，得 u-Inlu+C=Inx, 或写成 Inxu=u+C. 以代上式中的u,得 Inly+C. X
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 解 原方程可写成 1 ( ) 2 2 2 − = − = x y x y xy x y dx dy 令 u x y = 即 y=ux 则得 1 2 − + = u u dx du u x 即 −1 = u u dx du x 分离变量 得 x dx du u − ) = 1 (1 两边积分 得 u−ln|u|+C=ln|x| 或写成 ln|xu|=u+C 以 x y 代上式中的 u 得 C x y ln| y|= + 例 1 解方程 dx dy x y dx dy y +x = 2 2
主进 本堂 例2求解微分方程 (x-ycos)dx+xcosdy=0. X 解 令u=',则d山=xda+udk, (x-ux cosu)dx+xcosu(udx+xdu)=0, dx cosudu = sinu=-Inx+C, x 微分方程的解为sin'=-nx+C
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例 2 求解微分方程 ( − cos ) + cos dy = 0. x y dx x x y x y 解 令 ， x y u = 则dy = xdu + udx， (x − uxcosu)dx + xcosu(udx + xdu) = 0, cos , x dx udu = − sinu = −ln x + C, 微分方程的解为 sin ln x C. x y = − +
例3.在制造探照灯反射镜面时，要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性，试求反射镜面的形状 解：设光源在坐标原点，取x轴平行于光线反射方向， 则反射镜面由曲线y=f(x)绕x轴旋转而成 过曲线上任意点M(x,y)作切线MT, 由光的反射定律：入射角=反射角 可得 ∠OMA=∠OAM=C 从而 AO=OM 而A0=AP-OP=ycta-x=y -0 OM=x2+y2 于是得微分方程 =+
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 o y x 可得 OMA = OAM = 例3. 在制造探照灯反射镜面时, 解: 设光源在坐标原点, 则反射镜面由曲线 绕 x 轴旋转而成 . 过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T, 由光的反射定律: 入射角 = 反射角 = y cot − x x y y − = 2 2 OM = x + y T M A P y 取x 轴平行于光线反射方向, 从而 AO = OM = AP −OP 要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状. 而 AO 于是得微分方程 : x y y − 2 2 = x + y