山东农业大学 第七章微分方程 在力学、物理学及工程技术等领域中 为了对客观事物运动的规律性进行研究， 往往需要寻求变量间的函数关系，但根据 问题的性质，常常只能得到待求函数的导 数或微分的关系式，这种关系式在数学上 称之为微分方程。微分方程又分为常微分 方程和偏微分方程，本章讨论的是前者。 在本章介绍几种简单类型微分方程的求解
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第七章 微分方程 在力学、物理学及工程技术等领域中 为了对客观事物运动的规律性进行研究， 往往需要寻求变量间的函数关系，但根据 问题的性质，常常只能得到待求函数的导 数或微分的关系式，这种关系式在数学上 称之为微分方程。微分方程又分为常微分 方程和偏微分方程，本章讨论的是前者。 在本章介绍几种简单类型微分方程的求解
主讲人：苏本堂 第一节微分方程的基本概念 本节通过几个具体的例题来说明微分方程 的基本概念
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第一节微分方程的基本概念 本节通过几个具体的例题来说明微分方程 的基本概念
引例一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点Mx, y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程， 解设所求曲线的方程为y=x),则 dy=2x. dx 上式两端积分，得 y=∫2xk=x2+C (C为任意常数) 因为曲线通过点(1,2)，即当x=1时，y=2,所以 2=12+C,C=1. 因此，所求曲线方程为y=x2+1
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 设所求曲线的方程为y=y(x), 则 引例 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M(x, y)处的切线的斜率为2x, 求这曲线的方程. 解 x dx dy =2 上式两端积分得 因为曲线通过点(1 2) 即当x=1时 y=2 所以 2=1 2+C C=1 因此 所求曲线方程为 y=x 2+1 (C为任意常数) y = 2xdx
方本堂 引例2.列车在平直路上以20m/s的速度行驶，制动时 获得加速度a=-0.4m/s2,求制动后列车的运动规律 解：设列车在制动后1秒行驶了s米，即求s=s(① d2s =-0.4 已知 dt2 ds S=0=0, dft=0=20 由前一式两次积分，可得 s=-0.2t2+C1t+C2 利用后两式可得 C1=20,C2=0 因此所求运动规律为 s=-0.2t2+20t 说明：利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住，以及制动后行驶了多少路程
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 引例2.列车在平直路上以 的速度行驶, 制动时 获得加速度 求制动后列车的运动规律. 解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 已知 0 , s t=0 = 由前一式两次积分, 可得 1 2 2 s = − 0.2t +C t +C 利用后两式可得 因此所求运动规律为 s 0.2 t 20 t 2 = − + 说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 . 即求 s = s (t)
微分方程的基本概念 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 常微分方程（本章内容） 分类 偏微分方程 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶. 一般地，n阶常微分方程的形式是 F(x,y,y,.,y)=0 或ym=f(x,y,y,.,ym-)(n阶显式微分方程)
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 常微分方程 偏微分方程 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 (本章内容) ( , , , , ) 0 ( ) = n F x y y y ( , , , , ) ( ) ( −1) = n n y f x y y y ( n 阶显式微分方程) 微分方程的基本概念 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 的阶. 分类 或