山东农业大学 高等数学 主讲人：本堂 第二节可分离变量的微分方程 可分离变量方程 =f)y) dx M(x)M2(y)dx+N(x)N2(y)dy=0 解分离变量方程g(y)dy=f(x)dx
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第二节可分离变量的微分方程 解分离变量方程 g(y)dy = f (x)dx 可分离变量方程 ( ) ( ) d d 1 2 f x f y x y = M1 (x) M (y) dx + N 1 (x) N (y)d y = 0 2 2
可分离变量的微分方程 如果一个一阶微分方程能写成 gy)dy=x)dk(或写成y=(x)vy) 的形式，那么原方程就称为可分离变量的微分方程 讨论下列方程那些是可分离变量的微分方程： 微分方程 分离变量 是否可分离变量 y'=2xy y-dy=2xdx 是 3x2+5x-y'=0 dy=(3x2+5x)dx 是 (x2+y2)dx-xydy=0 不是 y'=1+x+y2+xy2 y'=(1+x)(1+y2) 是 y'=10+y 10-'dy=10'dx 是 y'=x+业 y x 不是
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 微分方程 分离变量 是否可分离变量 y=2xy 3x 2+5x−y=0 (x 2+y 2 )dx−xydy=0 y=1+x+y 2+xy2 y=10x+y 如果一个一阶微分方程能写成 g(y)dy=f(x)dx (或写成y=(x)(y)) 的形式 那么原方程就称为可分离变量的微分方程 可分离变量的微分方程 讨论下列方程那些是可分离变量的微分方程: x y y x y = + 是 不是 不是 是 是 是 y −1dy=2xdx dy=(3x 2+5x)dx y=(1+x)(1+y 2 ) 10−ydy=10xdx ———— ————
可分离变量的微分方程 如果一个一阶微分方程能写成 g0y)dy=x)dx(或写成y=o(x)y) 的形式，那么原方程就称为可分离变量的微分方程. 可分离变量的微分方程的解法 分离变量：将方程写成gy)dy=孔x)dx的形式； 两端积分：∫gO=∫fx),设积分后得G0以F心r+C 求显式解：求方程由Gy)=F(x)十C所确定的隐函数 y=Fx)或x=Yy) 方程Gy)=Fx)+C,F(x)或x=Yy)都是方程的通解， 其中Gy)=F(x)+C称为隐式（通）解
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 可分离变量的微分方程的解法 两端积分: 方程G(y)=F(x)+C y=F(x)或x=Y(y)都是方程的通解 其中G(y)=F(x)+C称为隐式(通)解 求显式解: 求方程由G(y)=F(x)+C所确定的隐函数 y=F(x)或x=Y(y) 如果一个一阶微分方程能写成 g(y)dy=f(x)dx (或写成y=(x)(y)) 的形式 那么原方程就称为可分离变量的微分方程 可分离变量的微分方程 分离变量: 将方程写成g(y)dy =f(x)dx的形式 g(y)dy= f (x)dx 设积分后得 G(y)=F(x)+C g(y)dy= f (x)dx 设积分后得 G(y)=F(x)+C
方本 例1.求微分方程 =3x2y的通解 dx 解：分离变量得 dy y=3x2 dx 说明：在求解过程中 每一步不一定是同解 两边积分j山 变形，因此可能增、 减解 得 Iny=x3+C 或 即 y=te*+C=teCie* 令C=±e9 Iny =x3+In C D=Cex3 (C为任意常数) (此式含分离变量时丢失的解y=0)
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1. 求微分方程 的通解. 解: 分离变量得 x x y y 3 d d 2 = 两边积分 得 1 3 ln y = x +C ln y x ln C 3 = + 即 C1 令C = e ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解. ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
xydx+(x2+1)dy=0 例2.解初值问题 0)=1 解：分离变量得 dy= y d 两边积分得lny=ln +In C 即 y/x2+1=C (C为任意常数) 由初始条件得C=1,故所求特解为 yWx2+1=1
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例2. 解初值问题 d ( 1) d 0 2 xy x + x + y = 解: 分离变量得 x x x y y d 1 d 2 + = − 两边积分得 即 y x +1 = C 2 由初始条件得C = 1, 1 1 2 y x + = ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 y(0) =1