1东农大 本堂 第七节常系数齐次线性微分方程 基本思路： 求解常系数线性齐次微分方程 转化 求特征方程（代数方程）之根
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第七节 常系数齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根 转化
二阶常系数齐次线性微分方程 一、定义 n阶常系数线性微分方程的标准形式 y(+Py(D+.+Py'+Py=f(x) 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 y”+y'+y=0 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 y”+py+⑩=f(x)
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、定义 n阶常系数线性微分方程的标准形式 ( ) 1 ( 1) 1 ( ) y P y P y P y f x n n n n + + + − + = − 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 y + py + qy = 0 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 y + py + qy = f (x) 二阶常系数齐次线性微分方程
山东农业大 等数 主讲 苏本草 二、二阶常系数齐次线性方程解法 y”+y'+y=0 -特征方程法 特点 未知函数与其各阶导数的线性组合等于0 即函数和其各阶导数只相差常数因子 猜想 有特解 p=er 设y=ex,将其代入上方程，得 (r2+pr+g)e =0 .ex≠0， 故有r2+pr+q=0 特征方程 由此可见，只要r满足代数方程r2+pr+g=0,函数y=er就是 微分方程的解
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 二、二阶常系数齐次线性方程解法 y + py + qy = 0 -特征方程法 , rx 设 y = e 将其代入上方程, 得 ( ) 0 2 + + = rx r pr q e 0, rx e 故有 0 2 r + pr + q = 特征方程 特点 未知函数与其各阶导数的线性组合等于0 即函数和其各阶导数只相差常数因子 猜想 有特解 rx y = e 由此可见 只要r满足代数方程r 2+pr+q=0 函数y=e rx就是 微分方程的解
1.当p2-4q>0有两个不相等的实根 特征根为r=P+YD=9,5=-D-D-4 2 两个线性无关的特解 y=enx, y2 =en, 得齐次方程的通解为y=C,ex+Ce;
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 有两个不相等的实根 特征根为 , 2 4 2 1 p p q r − + − = , 2 4 2 2 p p q r − − − = 两个线性无关的特解 , 1 1 r x y = e , 2 2 r x y = e 得齐次方程的通解为 ; 1 2 1 2 r x r x y = C e + C e 1. 当 4 0 2 p − q
2.当p2-4g=0时，特征方程有两个相等实根1=2 巴，则微分方程有一个特解=eix 设另-特解y2=yu(x)=eu(x) (u(x)待定) 代入方程得： e[(u'+2w+片2u)+p(+rw)+9u]=0 u”+(2i+p)t'+(2+pr+q)u=0 注意5是特征方程的重根 u"=0 取u=x,则得y2=xe1x,因此原方程的通解为 y=(C1+C2x)ex
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 2. 当 4 0 2 p − q = 时, 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解 ( u (x) 待定) 代入方程得: [ 1 r x e ( ) ( 2 ) + p u + r1u + qu = 0 2 u + r1u + r1 u 是特征方程的重根 u = 0 取 u = x , 则得 , 1 2 r x y = x e 因此原方程的通解为 r x y C C x e 1 ( ) = 1 + 2 (2 ) ( 1 ) 0 2 u + r1 + p u + r1 + p r + q u =