江画工太猩院 o(ax)=a、p(B)=b, ()-(a)=Fp(6)-Fp(a) =F6-F(a), ,f(rMx=F(b)-F(@)=d(B)-(a) "p()l()M 注意:区间(a,B是引入函数x=g(t)x的 区间a,b得到的的区间[a,B,(a<B),也可 能是[,a区间(a>B),上述公式仍成立
江西理工大学理学院 ϕ(α) = a、ϕ(β) = b, Φ(β)−Φ(α) = F[ϕ(β)]− F[ϕ(α)] = F(b)− F(a), f (x)dx F(b) F(a) ba = − ∫ = Φ(β)−Φ(α) f [ (t)] (t)dt. ∫ = ′ βα ϕ ϕ 注意 :区间[α,β ]是引入函数 x = ϕ(t)由x的 区间[a,b]得到的t的区间[α,β ],(α < β ),也可 能是[β ,α]区间(α > β ),上述公式仍成立
江画工太猩院 应用换元公式时应注意 (1)代换x=()必须是单值,且@(O是积分区 间②,B上的连续函数 (2)用x=(把变量x换成新变量f时,积分限也 相应的改变 (3)求出∫p()jp'(t)的一个原函数Φ(t)后,不 必象计算不定积分那样再要把Φ()变换成 原变量x的函数,而只要把新变量t的上、 下限分别代入Φ(t)然后相减就行了
江西理工大学理学院 应用换元公式时应注意 : （ 1 ） 求出 f [ϕ ( t)]ϕ′( t )的一个原函数 Φ ( t )后，不 必象计算不定积分那样再要把 Φ ( t )变换成 原变量 x的函数，而只要把新变量 t的上、 下限分别代入 Φ ( t )然后相减就行了. （ 3 ） 代换 x = ϕ( t )必须是单值，且ϕ′( t )是积分区 间 [α, β]上的连续函数. （ 2 ） 用 x = ϕ( t )把变量 x换成新变量 t时，积分限也 相应的改变
江画工太猩院 d 例2计算 解令x=t,x=t2,b=2t, x=4时,t=2,x=9,t=3, d x tdt rt-1+1 dt=2,(1+,)dt 2 2+ln|t-1=2(1+lm2)
江西理工大学理学院 例2 计算 解 令 ∫ − 9 4 x 1 dx x = t, , 2 x = t dx = 2tdt, x = 4时,t = 2, x = 9时,t = 3, ∫ ∫ − = − ∴ 3 2 9 4 1 2 1 t tdt x dx ∫ ∫ − = + − − + = 3 2 3 2 ) 1 1 2 (1 1 1 1 2 dt t dt t t 3 2 = 2[t + ln | t − 1 |] = 2(1 + ln2)
江画工太猩院 例3求 3 dx x2√1+x 解令x=tant→=sec2t, r17°以a x=|时, x=、3时, sec t d t an sect t=」 3sin td sint=| sin- t sint 23 2)=2
江西理工大学理学院 ∫ + 3 1 2 2 x 1 x dx 求 解 , 3 , 3 , 4 1 , π π x = 时 t = x = 时 t = ∫ = ∫ + 34 2 2 3 1 2 2 tan sec sec 1 π π dt t t t x x dx dt t t = ∫ 3 4 2 sin cos π π 3 4 3 4 2 ] sin1 sin sin [ π π ππ t = ∫ td t = − − . 3 2 3 2) 2 32 = −( − = − tan sec , 2 令 x = t ⇒ dx = tdt 例3
江画工太猩院 例4求 2X d 解令x=ect→= sect. tanto, x=1→t=0,x=2→t 2x一 tant d x sect tan tdt sec t Isec t-1 dt=(sect-cost)dt sect In sect +tant|-sint13=In(2+N3)
江西理工大学理学院 例4 求 ∫ 2 − 1 2 2 1dx x x 解 3 1 0, 2 π x = ⇒ t = x = ⇒ t = ∫ 2 − 1 2 2 1dx x x t tdt t t sec tan sec tan 3 ∫0 2 = π = ∫ 3 − 0 (sec cos ) π t t dt ∫ − = 30 2 sec sec 1 π dt t t 3 0 [ln |sec tan | sin ] π = t + t − t . 2 3 = ln(2 + 3) − 令 x = sec t ⇒ dx = sec t ⋅ tantdt