江画工太猩院 第8节 广义积分
江西理工大学理学院 第 8 节 广义积分
江西理工大学理学院 一、无穷限的广义积分 例1求曲线y=2,x=1及x轴所围成的 平面区域的面积。 所指区域为无界区域 如图 S= lim SABCD= lim b dx b→+ b→+0012 =lim(1-=1 b→+∞ o 1 bB
江西理工大学理学院 例1 。 x x x y 平面区域的面积 求曲线 , 1及 轴所围成的 12 = = ABCD b S S →+∞ = lim dx xb b ∫ →+∞ = 1 2 1 lim ) 1 lim (1 b b = − →+∞ = 1 所指区域为无界区域 如图 一、无穷限的广义积分
江画工太猩院 定义1设函数f(x)在区间a+o)上连续,取 b>a,如果极限Iim『∫(x)存在,则称此极 b→+0 限为函数f(x)在无穷区间[a,+∞)上的广义积 分,记作厂f(x o f()dx= lim,f(x)d 当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在 时,称广义积分发散 +0 例中S=
江西理工大学理学院 定义 1 设函数 f (x)在区间[a,+∞)上连续，取 b > a，如果极限 ∫ →+∞ b b a lim f (x)dx存在，则称此极 限为函数 f (x)在无穷区间[a,+∞)上的广义积 分，记作∫+∞ a f (x)dx. ∫+∞ a f (x)dx ∫ →+∞ = b b a lim f (x)dx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散. ∫ +∞ = 1 2 1 1 dx x 例 中 S
江画工太猩院 类似地,设函数f(x)在区间(-∞,b上连续,取 a<b,如果极限imf(x)dx存在,则称此极 a→0a 限为函数f(x)在无穷区间(-∞,b上的广义积 分,记作∫(x) f(r) dr=lim f(r)dx a-》0Ja 当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在 时,称广义积分发散
江西理工大学理学院 类似地，设函数 f (x)在区间(−∞,b]上连续，取 a < b，如果极限 ∫ →−∞ b a a lim f (x)dx存在，则称此极 限为函数 f (x)在无穷区间(−∞,b]上的广义积 分，记作∫−∞b f (x)dx. ∫−∞b f (x)dx ∫ →−∞ = b a a lim f (x)dx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散
江画工太猩院 设函数f(x)在区间(-,+)上连续,如果 广义积分f(x)x和"f(x)tc都收敛, 则 称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间 (∞+)上的广义积分,记作。f(x)k P+00 f(x)x=」f(x)+f(x)t rb lim f(r)dx+ lim Io f(r)dr a→-0·a 极限存在称广义积分收敛;否则称广义积分发散
江西理工大学理学院 设函数 f ( x)在区间(−∞,+∞)上连续,如果 广义积分∫−∞0 f (x)dx 和∫+∞ 0 f (x)dx 都收敛，则 称上述两广义积分之和为函数 f ( x)在无穷区间 (−∞,+∞)上的广义积分，记作∫+∞−∞ f (x)dx. ∫+∞−∞ f (x)dx ∫−∞ = 0 f (x)dx ∫+∞ + 0 f (x)dx ∫ →−∞ = 0 lim ( ) a a f x dx ∫ →+∞ + b b f x dx 0 lim ( ) 极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散