江画工太猩院 第7节 不定积分与定积分 的分部积分法
江西理工大学理学院 第 7 节 不定积分与定积分 的分部积分法
江画工太猩院 求导运算与积分运算是互逆的运算,积 分的方法常可通过求导法则导出,导数的基 本公式导出积分的基本公式微分形式不变 性导出积分形式不变性引出第一换元法, 下边是乘积的求导法则导出分部积分法
江西理工大学理学院 求导运算与积分运算是互逆的运算 , 积 分的方法常可通过求导法则导出 ,导数的基 本公式导出积分的基本公式 ,微分形式不变 性导出积分形式不变性 ,引出第一换元法 , 下边是乘积的求导法则导出分部积分 法
江画工太猩院 不定积分的分部积分法 问题∫xck=? 解决思路利用两个函数乘积的求导法则. 设函数=u(x)和v=v(x)具有连续导数, )=mv+l,w'=(a)-v, ∫m=am-hr,ja uav=uy-vau 分部积分公式
江西理工大学理学院 问题 ∫ xe dx = ? x 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u = u( x)和v = v( x)具有连续导数, ( ) uv = u′v + uv′, ′ uv ( ) uv − u′v, ′ ′ = uv dx uv u vdx, ∫ ∫ ′ = − ′ udv uv vdu. ∫ ∫ = − 分部积分公式 一、不定积分的分部积分法
江画工太猩院 例1求积分 xcos xd 解(一)令l=x,cost= d sinx=d jxcosx=xd sin x =xsin x- sin xdx =sinx tcosxtc 解(二)令∥=c0sx,xbk=bh2=by xcos xdx= cosx+-sin xdx 显然,L,v选择不当,积分更难进行
江西理工大学理学院 例1 求积分 cos . ∫ x xdx 解（一） 解（二） 令 u = x, cos xdx = d sin x = dv ∫ xcos xdx ∫ = xd sin x ∫ = xsin x − sin xdx = xsin x + cos x + C. 令u = cos x, xdx = dx = dv 2 21 ∫ xcos xdx ∫ = + xdx x x x sin 2 cos 22 2 显然，u,v′选择不当，积分更难进行
江画工太猩院 例2求积分」xet 解l=x2,l2dx=de2=lh, x2e dx=x2e*dx (再次使用分部积分法)l=x,e^bkc=h x'e'-2 (re'-e'dx) =x2e2-2(xe2-e)+C. 总结若被积函数是幂函数和正(余弦函数 或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函 数为u,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
江西理工大学理学院 例2 求积分 . 2 ∫ x e dx x 解 , 2 u = x e dx de dv, x x = = ∫ x e dx 2 x ∫ = x e − xe dx x x 2 2 2( ) 2 x e xe e dx x x x ∫ = − − （再次使用分部积分法）u = x, e dx dv x = 总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为u, 使其降幂一次(假定幂指数是正整数) 2( ) . 2 x e xe e C x x x = − − +