江画工太猩院 第5节 不定积分换元法二
江西理工大学理学院 第 5 节 不定积分换元法二
江画工太猩院 第二类换元法 问题x31-x2tx=? 解决方法改变中间变量的设置方法 过程令x=int→t=cost, 5I5v1-xdrx= (sint)5\@ t costdt sin tcos tdt (应用“凑微分”即可求出结果)
江西理工大学理学院 问题 1 ? 5 2 − = ∫ x x dx 解决方法 改变中间变量的设置方法. 过程 令 x = sint ⇒ dx = costdt, − = ∫ x x dx 5 2 1 (sint) 1 sin t costdt 5 2 ∫ − t tdt 5 2 sin cos ∫ = = LL （应用“凑微分”即可求出结果） 第二类换元法
江画工太猩院 定理2设x=V(t)是单调的、可导的函数, 并且y()≠0,又设/()y()具有原函数, 则有换元公式60,lon 其中v(x)是x=y()的反函数 证设Φ()为fy()y()的原函数, 令严(x)=cy(x) d e dt 则F(x)= ∫y(t)y(l dt dx
江西理工大学理学院 其中ψ ( x)是x =ψ (t)的反函数. 证 设 为 的原函数 Φ(t) f [ψ (t)]ψ′(t) , 令F(x) = Φ[ψ (x)] 则 dx dt dt d F x ⋅ Φ ′( ) = = f [ψ (t)]ψ′(t) , ( ) 1 ψ′ t ⋅ 设x =ψ (t)是单调的、可导的函数， [ ] ( ) ( ) [ ( )] ( ) t x f x dx f t t dt ψ ψ ψ ∫ ∫ = 则有换元公式 = ′ 并且ψ′(t) ≠ 0，又设 f [ψ (t)]ψ′(t)具有原函数， 定理2
江画工太猩院 =∫()=f(x) 说明F(x)为f(x)的原函数, ∫(x)dc=F(x+C=ox+C f(r]dx=l fly(Oly (oldt t=y(x) 第二类积分换元公式
江西理工大学理学院 第二类积分换元公式 ∫ ∴ f ( x )dx = F ( x ) + C = Φ [ ψ ( x)] + C , [ ] ( ) ( ) [ ( )] ( ) t x f x dx f t t dt ψ ψ ψ ∫ ∫ = = ′ = f [ψ ( t)] = f ( x). 说明 F ( x ) 为 f ( x )的原函数
江画工太猩院 例1求 t(a>0) √x+a 解令x= tant→d=asec2tte 22 d . asec tdt √x+a sect sectdt =In(sect tant)+C xx+a √x+a to
江西理工大学理学院 例1 求 解 ( 0). 12 2 > + ∫ dx a x a 令x = a tant dx a tdt 2 ⇒ = sec = + ∫ dx x a 2 2 1 a tdt a t 2 sec sec1 ⋅ ∫ ∫ = sectdt = ln(sec t + tant) + C t a 2 2 x x + a ln . 2 2 C a x a a x +⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ + = + ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ π π ∈ − 2, 2 t