江画工太猩院 第3节 不定积分 的概念与性质
江西理工大学理学院 第 3 节 不定积分 的概念与性质
江西理工大学理学院 、原函数与不定积分的概念 定义:如果在区间I内,可导函数F(x)的 导函数为f(x),即Vx∈,都有F(x)=f(x) 或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就称为f(x) 或f(x)dx在区间/内原函数 例(sinx)= cosx sinx是cosx的原函数 ′1 (nx)= >0) nx是在区间(0,+∞)内的原函数 X
江西理工大学理学院 例 ( ) sin x = cos x ′ sin x是cos x的原函数. ( ) ( 0) 1 ln = > ′ x x x ln x是 x 1在区间(0,+∞)内的原函数. 定义： 如果在区间I 内，可导函数F( x)的 即∀x ∈ I ，都有F ′( x) = f ( x) 或dF( x) = f ( x)dx，那么函数F( x)就称为 f ( x) 导函数为 f ( x)， 或 f ( x)dx在区间I 内原函数. 一、原函数与不定积分的概念
江画工太猩院 原函数存在定理: 如果函数∫(x)在区间内连续, 那么在区间I内存在可导函数F(x) 使∨x∈Ⅰ,都有F'(x)=∫(x) 简言之:连续函数一定有原函数 问题:(1)原函数是否唯一? (2)若不唯一它们之间有什么联系? Bi(sin x =cos x (sinx+C)=cosx (C为任意常数)
江西理工大学理学院 原函数存在定理： 如果函数 f (x)在区间I内连续， 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ 例 ( ) sin x = cos x ′ ( ) sin x C = cos x ′ + （ 为任意常数） C 那么在区间I内存在可导函数F(x)， 使∀x ∈ I，都有F′(x) = f (x). (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
江画工太猩院 关于原函数的说明: (1)若F(x)=f(x),则对于任意常数C, F(x)+C都是∫(x)的原函数 (2)若F(x)和G(x)都是f(x)原函数, 则F(x)-G(x)=C(C为任意常数) iTE: F(x)-G(x)=F'(x)G(x) f(x)-f(x)=0 F(x)-G(x)=C(C为任意常数)
江西理工大学理学院 关于原函数的说明： （ 1）若 ，则对于任意常数 ， F′( x ) = f ( x ) C F ( x ) + C都是 f ( x )的原函数 . （ 2）若 和 都是 的原函数， F ( x ) G ( x ) f ( x ) 则 F ( x ) − G ( x ) = C （ 为任意常数） C 证 [ ] F ( x ) G ( x ) = F′( x ) − G′( x ) ′ Q − = f ( x ) − f ( x ) = 0 ∴ F ( x ) − G ( x ) = C （ 为任意常数） C
江画工太猩院 不定积分的定义: 在区间I内,函数∫(x)的带有任意 常数项的原函数称为f(x)在区间I内的 不定积分,记为(x) f(r)dx= F(x)+C 积被被 分积积积任 号函表分意 数送变常 式量数
江西理工大学理学院 积分号 被积函数 任意常数 不定积分的定义： 在区间I 内， ∫ f (x)dx被积表达式 = F(x) + C 积分变量 函数 f ( x)的带有任意 常数项的原函数 称为 f (x)在区间I内的 不定积分，记为∫ f (x)dx