江画工太猩院 第3节 泰勒公式 函数单调性的判别法
江西理工大学理学院 第 3 节 泰勒公式 函数单调性的判别法
江画工太猩院 、问题的提出 1.设f(x)在x1处连续,则有 f(r)sf(xo) Lf(x=f(x)+a 2设f(x)在x处可导,则有 f(x)≈∫(x)+f(x)x-x If(r)=f(ro)+f(o(x-xo)+o(x-xol 例如,当x很小时,e2≈1+x,l(1 +y)≈x (如下图)
江西理工大学理学院 一、问题的提出 1.设 f (x)在 0 x 处连续,则有 2.设 f (x)在x0处可导,则有 例如, 当 x 很小时, e x x ≈ 1 + , ln(1 + x) ≈ x [ f ( x) = f ( x0 ) +α ] [ ( ) ( ) ( )( ) ( )] 0 x0 x x0 o x x0 f x = f x + f ′ − + − （如下图） ( ) ( ) x0 f x ≈ f ( ) ( ) ( )( ) 0 x0 x x0 f x ≈ f x + f ′ −
江画工太猩院 e y=n(1+x) =1+x 0 0
江西理工大学理学院 x y = e y = 1 + x o x y = e o y = x y = ln(1 + x)
江画工太猩院 不足:1、精确度不高;2、误差不能估计 问题:寻找函数P(x,使得f(x)xP(x) 误差R(x)=f(x)-P(x)可估计 设函数∫(x)在含有x的开区间(a,b)内具有直到 (n+1)阶导数,P(x)为多项式函数 P(x)=an+a1(x-x)+a4(x-xn)2+…+an(x-x) 误差Rn(x)=f(x)-P(x)
江西理工大学理学院 不足: 问题: 寻找函数P(x),使得 f (x) ≈ P(x) 误差 R( x) = f ( x) − P(x) 可估计 1、精确度不高； 2、误差不能估计. 设函数 f ( x)在含有 x0的开区间(a,b)内具有直到 (n + 1)阶导数,P( x)为多项式函数 n Pn (x) a a (x x ) a (x x ) an (x x ) 0 2 = 0 + 1 − 0 + 2 − 0 +L+ − 误差 R (x) f (x) P (x) n = − n
江画工太猩院 、P和R的确定 分析: 1若在x点相交 近似程 P,(ro=f(ro) y=f(r) 感/2若有相同的切线 度 来 越 P(xo=f(ro) 好 3若弯曲方向相同 P(x)=f"(x) 0
江西理工大学理学院 二、Pn和Rn的确定 x0 y = f ( x) o x y 分析: ( ) ( ) 0 x0 P x f n = ( ) ( ) 0 x0 P x f n′′ = ′′ ( ) ( ) 0 x0 P x f n′ = ′ LL LL 2.若有相同的切线 3.若弯曲方向相同 近似程度越来越好 1.若在 点相交 x0