江画工太猩院 第4节 极值、最值问题
江西理工大学理学院 第 4 节 极值、最值问题
江画工太猩院 函数极值的定义 y=f(x) ax x xsb x
江西理工大学理学院 一、函数极值的定义 o x y a b y = f ( x ) x1 x2 x3 x 4 x5 x 6 o x y o x y 0 x 0 x
江西理工大学理学院 定义设函数f(x)在区间(a,b)内有定义,x是 a,b)内的一个点, 如果存在着点x的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x,除了点x外,f(x)<f(x)均成立,就称 f(x)是函数f(x)的一个极大值; 如果存在着点x的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x,除了点x外,f(x)>f(x)均成立,就称 f(x)是函数f(x)的一个极小值 函数的极大值与极小值统称为极值使函数取得 极值的点称为极值点
江西理工大学理学院 ( ) ( ) . , , ( ) ( ) , , ( ) ( ) ; , , ( ) ( ) , , ( , ) , ( ) ( , ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 是函数 的一个极小值 任何点 除了点 外 均成立 就称 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 是函数 的一个极大值 任何点 除了点 外 均成立 就称 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 内的一个点 设函数 在区间 内有定义 是 f x f x x x f x f x x f x f x x x f x f x x a b f x a b x > < 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点
江画工太猩院 二、函数极值的求法 定理1(必要条件)设f(x)在点x处具有导数,且 在x处取得极值,那末必定f(x)=0. 定义使导数为零的点(即方程∫(x)=0的实根叫 做函数f(x)的驻点 注意:可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点, 但函数的驻点却不一定是极值点 例如,y=x2,yx-0=0,但x=0不是极值点
江西理工大学理学院 二、函数极值的求法 设 f ( x )在点 x 0处具有导数,且 在 x 0处取得极值,那末必定 ( 0 ) 0 ' f x = . 定理1(必要条件) 定义 ( ) . ( ( ) 0 ) 做函数 的驻点 使导数为零的点 即方程 的实根 叫 f x f ′ x = 注意 : . ( ) , 但函数的驻点却不一定 是极值点 可导函数 f x 的极值点必定是它的驻 点 例如 , , 3 y = x 0 , y′ x = 0 = 但 x = 0不是极值点
心血画理工太理疊院 证:不妨设f(x是f(x)的极大值,由极大值的定义, 在x的某个去心邻域内,对任何点x,f(x)<f(x)均 成立。于是有: ((s)>0(x<x) x一 f(x)-f(x)<0(x>x0) x-x 由f(x)在x的可导性,有 . f(x)-f(ro)o f(ro)=f(ro)=lim x→x0-0x-X0 f(xo)=f(ro=lim 30<0 X→x0+0x-x0 ∴∫(x)=0
江西理工大学理学院 证： : , ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 成立。于是有 在 的某个去心邻域内，对 任何点 均 不妨设 是 的极大值，由极大值的 定义， x x f x f x f x f x < 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 x x x x f x f x > < − − 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 x x x x f x f x < > − − 由f ( x ) 在 x 0的可导性，有 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 ≤ − − ′ = ′ = → + + x x f x f x f x f x x x ( ) 0 ∴ f ′ x 0 = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 ≥ − − ′ = ′ = → − − x x f x f x f x f x x x