江画工太猩院 第3节 数量积与向量积
江西理工大学理学院 第 3 节 数量积与向量积
江西理工大学理学院 两向量的数量积 实例一物体在常力F作用下沿直线从点M移动 到点M,,以5表示位移,则力F所作的功为 || coS0其中0为F与的夹角) 启示两向量作这样的运算,结果是一个数量. 定义向量a与b的数量积为b b= cos0(其中为与b的夹角)
江西理工大学理学院 一物体在常力Fr 作用下沿直线从点M1移动 到点M2，以sr表示位移，则力Fr 所作的功为 W | F || s | cosθ r r = (其中θ 为Fr 与sr的夹角) 启示 向量ar与br的数量积为a br r ⋅ a b | a || b | cosθ r r r r ⋅ = (其中θ 为ar与b r 的夹角) 实例 两向量作这样的运算, 结果是一个数量. 定义 一、两向量的数量积
江画工太猩院 nb=l‖b|c0s6 b cos0=Prjb, a 8=Pr ja, ∴·b=bPrj= apri,b. 结论两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积 数量积也称为“点积”、“内积
江西理工大学理学院 a r b r θ a b | a || b | cosθ r r r r ⋅ = | b | cos Pr j b, a r r Q θ = | a | cos Pr j a, b r r θ = a b b jbar r r r ∴ ⋅ =| | Pr | a | Pr j b. a r r = 数量积也称为“点积”、“内积”. 结论 两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积
江画工太猩院 关于数量积的说明 (1)·l 证∵6=0,∴·=l|dic0s6 (2)ab=0→aLb. 证(→):a·b=0,≠0,b≠0 cos6=0,=π,:l⊥b. (=):l⊥b,:6= c0s6=0 lb=l‖b|c0s6=0
江西理工大学理学院 关于数量积的说明： ( 2 ) a ⋅ b = 0 r r ⇐ ⇒ a b . r r ⊥ ( ⇒ ) a ⋅ b = 0 , r r Q | a |≠ 0 , r | b |≠ 0 , r ∴cos θ = 0 , a b . r r ∴ ⊥ ( 1 ) | | . 2 a a a r r r ⋅ = ( ⇐ ) a b , r r Q ⊥ ∴cos θ = 0 , a ⋅ b =| a || b | cos θ = 0 . r r r r Q θ = 0 , | || | cos | | . 2 a a a a a r r r r r 证 ∴ ⋅ = θ = 证 θ = , 2 π , 2 π ∴ θ =
江画工太猩院 数量积符合下列运算规律: (1)交换律:a·b=b·G; (2)分配律:(a+b)C=l+bE; (3)若λ为数:(Aa)·b=a·(1b)=1(a·b), 若、数:()·(b)=y(a.b) 注:1.消去律不成立 即:若a·C=b·c且c≠0,一般推不出a=b 例如·k=0=j且k≠0,但i≠j
江西理工大学理学院 数量积符合下列运算规律： （1）交换律：a b b a ; r r r r ⋅ = ⋅ （2）分配律：( a b ) c a c b c ; r r r r r r r + ⋅ = ⋅ + ⋅ （3）若 为数： λ ( a ) b a ( b ) ( a b), r r r r r r λ ⋅ = ⋅ λ = λ ⋅ 若 、 为数 λ µ ：( a ) ( b ) ( a b). r r r r λ ⋅ µ = λµ ⋅ 注：1. 消去律不成立 . 即：若 且 ，一般推不出 a c b c r r r r ⋅ = ⋅ 0 r rc b ≠ a r r = 例如： i k j k r r r r ⋅ = 0 0 = ⋅ r r 且 ， k ≠ i j r r 但 ≠