江画工太猩院 第4节 曲面、空间曲线及其方程
江西理工大学理学院 第 4 节 曲面、空间曲线及其方程
江西理工大学理学院 、曲面方程的概念 曲面的实例:水桶的表面、台灯的罩子面等. 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹 曲面方程的定义: 如果曲面S与三元方程F(x,y,)=0有下述关系: (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程; (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程 那么,方程F(x,y,)=0就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程的图形
江西理工大学理学院 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义： 如果曲面 S与三元方程 F ( x , y , z ) = 0有下述关系： （1）曲面 S上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面 S上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程 F ( x , y , z ) = 0就叫做曲面 S的方程， 而曲面 S就叫做方程的图形． 曲面的实例： 一、曲面方程的概念
江画工太猩院 以下给出几例常见的曲面. 例1建立球心在点M0(x1,n)、半径为R 的球面方程 解设M(x,y,x)是球面上任一点, 根据题意有|MM=R 2 x-x0)+(y +(z 0 R 所求方程为(x-x0)+(y-y)2+(z-x)=R2 特殊地:球心在原点时方程为x2+y2+z2=R2
江西理工大学理学院 以下给出几例常见的曲面 . 例 1 建立球心在点 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 、半径为 R 的球面方程. 解 设 M ( x , y , z )是球面上任一点， 根据题意有 | MM 0 |= R ( ) x − x + ( y − y )( ) + z − z = R 2 0 2 0 2 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 0 2 所求方程为 x − x 0 + y − y + z − z = R 特殊地：球心在原点时方程为 2 2 2 2 x + y + z = R
江画工太猩院 例2求与原点O及M234的距离之比为1:2的 点的全体所组成的曲面方程 解设M(x,y,x)是曲面上任一点, M0|1 根据题意有 MM 2 0 xrt+z √(x-2)+(-3)+(-4) 4)116 所求方程为x+2+(y+1)+z+,|=
江西理工大学理学院 例 2 求与原点O及 (2,3,4) M0 的距离之比为1: 2的 点的全体所组成的曲面方程. 解 设M(x, y,z)是曲面上任一点， , 2 1 | | | | 0 = MM MO 根据题意有 ( )( )( ) , 2 1 2 3 4 2 2 2 2 2 2 = − + − + − + + x y z x y z ( ) . 9116 34 1 32 2 2 2 ⎟ = ⎠⎞ ⎜⎝⎛ ⎟ + + + + ⎠⎞ ⎜⎝⎛ 所求方程为 x + y z
江画工太猩院 例3已知4(1,2,3),B(2,-1,4),求线段AB的 垂直平分面的方程 解设M(x,y,x是所求平面上任一点, 根据题意有|MAMB, x-1)+(-2)+(z-3)2 x-2)+(y+1)+(z-4), 化简得所求方程2x-6y+2z-7=0
江西理工大学理学院 例 3 已知A(1,2,3)，B(2,−1,4)，求线段AB的 垂直平分面的方程. 设M ( x, y,z)是所求平面上任一点， 根据题意有 | MA |=| MB |, ( ) ( )( ) 2 2 2 x − 1 + y − 2 + z − 3 ( 2) ( 1) ( 4) , 2 2 2 = x − + y + + z − 化简得所求方程 2x − 6 y + 2z − 7 = 0. 解