江画工太猩院 第6节 曲率
江西理工大学理学院 第 6 节 曲 率
江画工太猩院 弧微分 设函数f(x)在区间(a,b) 内具有连续导数 A R 基点:Axn, M(x,y)为任意一点,0 xxx+△rx 规定:(1)曲线的正向与x增大的方向一致; (2)AM=s,当AM的方向与曲线正向 致时,s取正号,相反时,s取负号
江西理工大学理学院 一、弧微分 N R T A 0 x M x x + ∆x . ( ) ( , ) 内具有连续导数 设函数 f x 在区间 a b x y o : ( , ), 0 0 基点 A x y M(x, y)为任意一点, 规定：(1)曲线的正向与 x增大的方向一致 ; (2) AM = s, j 一致时 , 取正号 ,相反时 , 取负号 . 当 的方向与曲线正向 s s AMj
江画理工大学雅院 单调增函数s=S(x) R 设N(x+△x,y+Δy,如图, x x+Ar x WN<阶<MT+NT当Ax→时, △ MN=√△x)2+(△y)2 △x→1+y2dt △→ds dx32+(dy)2=1+y, MT=4y-d→0,故d=+y2,孤微分公式 s=s(x)为单调增函数,故d=√1+p2a
江西理工大学理学院 单调增函数 s = s(x). 设N(x + ∆x, y + ∆y), 如图， MN < MN < MT + NT j 当∆x → 0时, 2 2 MN = (∆x) + (∆y) x x y ∆ ∆ ∆ = + 2 1 ( ) 1 , 2 → + y′ dx MN = ∆s j → ds, 2 2 MT = (dx) + (dy) 1 , 2 = + y′ dx NT = ∆y − dy → 0, 1 . 2 故 ds = + y′ dx Q s = s(x)为单调增函数, 1 . 2 故 ds = + y′ dx 弧微分公式 N M T A R x0 x x + ∆x x y o
江画工太猩院 二、曲率及其计算公式 1、曲率的定义 曲率是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量. △S, M, M M △S,N △a 弧段弯曲程度转角相同弧段越 越大转角越大短弯曲程度越大
江西理工大学理学院 二、曲率及其计算公式 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量． M1 M3 )∆ α2 M2 ∆S2 ∆S1 M M′ ∆ S 1 ∆ S2 N N′ ) ∆ α 弧段弯曲程度 越大转角越大 转角相同弧段越 短弯曲程度越大 1、曲率的定义 ∆ α1 )
江画工太猩院 设曲线C是光滑的, M M是基点.MM=△s, S M △a M→M切线转角为△a a+△a 定义 弧段MM的平均曲率为/△a △ △a 曲线C在点M处的曲率K=lim A→0△ 在im=存在的条件下,K= d al △s→>0△sds ds
江西理工大学理学院 ) α + ∆ α ∆ α ∆ S S ) α . M′. M C M0 y o x . s MM K ∆ ∆ ′ = α 弧段 的平均曲率为 （ 设曲线 C是光滑的， . M 0 是基点 MM′ = ∆ s, （ M → M′ 切线转角为 ∆ α . 定义 s K s ∆ ∆ α = ∆ → 0 曲线C 在点M 处的曲率 lim lim , 0 在 存在的条件下 ds d s s α α = ∆ ∆ ∆ → . ds d K α =