江画工太猩院 第5节 平面及其方程
江西理工大学理学院 第 5 节 平面及其方程
江西理工大学理学院 、平面的点法式方程 如果一非零向量垂直 于一平面,这向量就叫做 M 该平面的法线向量 0 y 法线向量的特征:垂直于平面内的任一向量 已知={,b,C},Mn,y 设平面上的任一点为M(x,y, 必有MM⊥→Mmn=0
江西理工大学理学院 x y z o M0 M 如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做 该平面的法线向量． 法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 已知 n = {A, B, C}, r ( , , ), 0 0 0 0 M x y z 设平面上的任一点为 M(x, y, z) M M nr 必有 0 ⊥ ⇒ M0M ⋅n = 0 r 一、平面的点法式方程 n r
江画工太猩院 M0M={x-x1,y-Ja,z-项} A(x-x)+B(y-y)+C(z-)=0 平面的点法式方程 其中法向量n={A,B,C},已知点(x,y0,列 平面上的点都满足上方程,不在平面上的 点都不满足上方程,上方程称为平面的方程, 平面称为方程的图形
江西理工大学理学院 { , , } 0 0 0 0 Q M M = x − x y − y z − z ∴ A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程，不在平面上的 点都不满足上方程，上方程称为平面的方程， 平面称为方程的图形． 其中法向量 n = {A,B,C}, r 已知点 ( , , ). 0 0 0 x y z
江画工太猩院 例1求过三点4(2,-1,4)、B(-13-2)和 C(0,2,3)的平面方程 解AB={-3,46} AC={-2,3,-1} 取正= ABAC={4,-1, 所求平面方程为14(x-2)+9y+1)-(z-4)=0, 化简得14x+9y-z-15=0
江西理工大学理学院 例 1 求过三点A(2,−1,4)、B(−1,3,−2)和 C(0,2,3)的平面方程. 解 AB = {−3, 4,−6} AC = {−2, 3,−1} 取 n = AB× AC r = {14, 9,−1}, 所求平面方程为 14(x − 2) + 9( y + 1) − (z − 4) = 0, 化简得 14x + 9 y − z − 15 = 0
江画工太猩院 例2求过点(1,1),且垂直于平面x-y+z=7和 3x+2y-12z+5=0的平面方程 解n1={,-1,1},吃2=132,-12} 取法向量n=1Xn={10,153, 所求平面方程为 10x-1)+15(y-1)+5(z-1)=0, 化简得2x+3y+z-6=0
江西理工大学理学院 例 2 求过点(1,1,1)，且垂直于平面x − y + z = 7和 3x + 2 y − 12z + 5 = 0的平面方程. {1, 1,1}, n1 = − r {3,2, 12} n2 = − r 取法向量 n n1 n2 r r r = × = {10,15,5}, 10(x − 1) + 15( y − 1) + 5(z − 1) = 0, 化简得 2x + 3 y + z − 6 = 0. 所求平面方程为 解