江画工太猩院 第6节 定积分的换元法
江西理工大学理学院 第 6 节 定积分的换元法
江画工太猩院 计算定积分的关键在于求被积函数的原函 数而求原函数需要换元积分时须把不定积分的 换元法运用到定积分上去 例1求 x√1+lnx d 1+Inx 解 x√1+ln√1+lnx 2(1+nx) =2(2-1)=2
江西理工大学理学院 计算定积分的关键在于求被积函数的原函 数 ,而求原函数需要换元积分时 ,须把不定积分的 换元法运用到定积分上去 . ∫ + 3 1 1 ln 1 e x x dx 例 求 解 ∫ ∫ + + = + 3 3 1 1 1 ln ( 1 ln ) 1 ln e e x d x x x dx 3 1 2 1 2 ( 1 ln ) e = + x = 2 ( 2 − 1 ) = 2
江画工太猩院 求原函数时,只凑微分而未换元,即原函数 的变量还是原被积函数的变量,代入上下限相 减即可 对形如山x的积分, 求原函数需换元x=sin,则求出的原函数 是以t为变量,必须退回为x的函数才能代入 上下限若在换元的同时把x的区间换为t的 区间计算会更简便这就是定积分的换元法
江西理工大学理学院 求原函数时,只凑微分而未换元,即原函数 的变量还是原被积函数的变量,代入上下限相 减即可. , 1 1 2 1 2 2 对形如∫ 的积分 −xx dx 求原函数需换元 x=sint ,则求出的原函数 是以 t 为变量,必须退回为 x 的函数才能代入 上下限.若在换元的同时把 x 的区间换为 t 的 区间,计算会更简便,这就是定积分的换元法
江画工太猩院 、定积分的换元公式 定理假设 (1)函数f(x)在,b上连续; (2)函数x=0(t)在(,月上是单值的且有连续 导数 (3)当变量t在区间[a,6上变化时,x=p() 的值在,b上变化,且g(a)=a、p(6)=b 有f(x)=fp(p(M
江西理工大学理学院 假设 定理 （1）函数 f (x)在[a,b]上连续； （2）函数x = ϕ(t)在[α, β ]上是单值的且有连续 导数； （3）当变量 t在区间[α, β ]上变化时，x = ϕ(t) 的值在[a,b]上变化，且ϕ(α ) = a、ϕ(β ) = b， 则 有 f x dx f t t dt b ∫a ∫ = ′ βα ( ) [ϕ( )]ϕ ( ) . 一、定积分的换元公式
观西理工大院 证∫(x)连续,x=p()、g(t)连续,故两边被积 函数的原函数存在,设F(x)是f(x)的原函数, 则有/(x)=F(b)-F( 令F()=(, df dx (t) =f(x)(t)=∫|p)p(t) dx dt Φ(t)是∫p(t)]p(t)的一个原函数 ∫p(t)lp(yt=p(β)-Φ(a) Flo(B)l-Flp(a)l
江西理工大学理学院 证 f (x)dx F(b) F(a), ba 则有 ∫ = − 令 F[ϕ(t)] = Φ(t), dt dx dx dF Φ′(t) = ⋅ = f (x)ϕ′(t) = f [ϕ(t)]ϕ′(t), [ϕ( )]ϕ′( ) = Φ(β) − Φ(α), ∫βα f t t dt ∴Φ(t)是 f [ϕ(t)]ϕ′(t)的一个原函数. f ( x)连续, x = ϕ(t)、 ϕ′(t)连续， 故两边被积 函数的原函数存在 ,设F( x)是f ( x)的原函数 , = F[ϕ(β )]− F[ϕ(α)]