江画工太猩院 第2节 洛必达法则
江西理工大学理学院 第 2 节 洛必达法则
江画工太猩院 型及一型未定式解法:洛必达法则 定义如果当x→a(或x→∞)时,两个函数 f(x)与F(x)都趋于零或都趋于无穷大,那末 极限mf(x) 可能存在、也可能不存在,通 x-a F(r) (x→∞) 常把这种极限称为或—型未定式 tanx 0 In sin ax oo 例如,Iim,(。) x→>0y o In sin bx
江西理工大学理学院 一、 型及 型未定式解法 :洛必达法则 0 0 ∞ ∞ 定义 . 0 0 ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) 常把这种极限称为 或 型未定式 极限 可能存在、也可能不存在．通 与 都趋于零或都趋于无穷大，那末 如果当 或 时，两个函数 ∞ ∞ → → ∞ → ∞ → F x f x f x F x x a x x x a 例如 , , tan lim0 x x x → , lnsin lnsin lim0 bxax x → ) 0 0 ( ( ) ∞ ∞
江画工太猩院 定理设 (1)当x→时,函数∫(x)及F(x)都趋于零; (2)在a点的某去心邻域内,f(x)及F(x)都存在 且F(x)≠0 3)im/(2)存在或为无穷大 x→a F(r) 那末im/(x)=limy(x x→a F(x) x-a F(x) 定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则
江西理工大学理学院 . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ); ( ) ( ) (3) lim ( ) 0; (2) , ( ) ( ) (1) , ( ) ( ) ; F x f x F x f x F x f x F x a f x F x x a f x F x x a x a x a ′ ′ = ′ ′ ′ ≠ ′ ′ → → → → 那末 存在 或为无穷大 且 在 点的某去心邻域内 及 都存在 当 时 函数 及 都趋于零 定理 设 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则
江画工太猩院 证定义辅助函数 f(x),x≠a F(x),X≠a fi(r) F;(x) gx=a x=a 在U(a,δ)内任取一点x,在以n与x为端点的区间上, f1(x),F1(x)满足柯西中值定理的条件,则有 f(r)f(x)-f() f(5) F(x)F(x)-F()P')(张在r与之间) 当x→时,→a,;lim f(x) =A,∴lim35=A, x→F(x) 5+F(9) f(x)_1f() m x-a F(x)5aF'(5
江西理工大学理学院 证 定义辅助函数 , 0, ( ), ( ) 1 ⎩⎨⎧ =≠ = x a f x x a f x , 0, ( ), ( ) 1 ⎩⎨⎧ =≠ = x a F x x a F x ( , ) , 0 在U a δ 内任取一点 x 在以 a 与 x 为端点的区间上, ( ), ( ) , f1 x F1 x 满足柯西中值定理的条 件 则有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 F x F a f x f a F x f x − − = ( ) ( ) ξ ξ F f ′ ′ = (ξ在x与a之间) 当x → a时,ξ → a, , ( ) ( ) lim A F x f x x a = ′′ → Q , ( ) ( ) lim A Ff a = ′′ ∴ → ξξ ξ . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim A F f F x f x x a a = ′ ′ ∴ = → → ξ ξ ξ
江画工太猩院 如果 f(r) 仍属。型,且∫(x),F(x)满足 定理的条件,可以继续使用洛必达法则,即 f(x)_f(x)_f"(x) imF(xr)xaF(x)x-AaF"(x) lim x→ 当x→时,该法则仍然成立 m x-yoo F(x )x=yoo F(x)) 当x→a,x→时的未定式一,也有相应的洛必达法则
江西理工大学理学院 当x → ∞时,该法则仍然成立. 定理的条件，可以继续使用洛必达法则，即 如果 仍属 型，且 ( ), ( ) 满足 00 ( ) ( ) f x F x F x f x ′ ′ ′′ . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim = L ′′′′ = ′′ = → → → F x f x F x f x F x f x x a x a x a . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x x ′ ′ = →∞ →∞ 当 , 时的未定式 ,也有相应的洛必达法则. ∞ ∞ x → a x → ∞