江画工太猩院 第三章 中值定理与 导数的应用
江西理工大学理学院 第三章 中值定理与 导数的应用
江画工太猩院 第1节 中值定理
江西理工大学理学院 第 1 节 中值定理
江西理工大学理学院 、罗尔(Rolle)定理 罗尔(Rolle)定理如果函数f(x)在闭区间a,b 上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端点的函数 值相等,即f(a)=f(b),那末在(a,b)内至少有一点 (a<<b),使得函数f(x)在该点的导数等于零, 即f()=0 例如,f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1) 在-13]上连续,在(-1,3)上可导,且f(1)=f(3)=0, ∵f(x)=2(x-1),取=1,(1e∈(-13)f()=0
江西理工大学理学院 一、罗尔(Rolle)定理 罗尔（Rolle）定理 如果函数 f (x)在闭区间 [a,b] 上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端点的函数 值相等，即 f (a) = f (b),那末在(a,b)内至少有一点 ξ(a < ξ < b),使得函数 f (x)在该点的导数等于零， 即 ( ) 0 ' f ξ = (1) ( ) 2) (3 例如, ( ) 2 3 2 f x = x − x − = (x − 3)(x + 1). 在[−1,3]上连续, 在(−1,3)上可导, 且 f (−1) = f (3) = 0, Q f ′(x) = 2(x − 1), 取ξ = 1, (1∈(−1,3)) f ′(ξ) = 0
江画工太猩院 几何解释 C y=f∫(x) 在曲线弧AB上至少有 心 点C,在该点处的切线是 水平的 0 a 物理解释: 变速直线运动在折返 点处,瞬时速度等于 果 点击图片任意处播放暂停
江西理工大学理学院 点击图片任意处播放\暂停 物理解释: 变速直线运动在折返 点处, 瞬时速度等于 零. 几何解释: a ξ1 ξ 2 b x y o y = f (x) . , 水平的 点 在该点处的切线是 在曲线弧 上至少有一 C AB C
江画工太猩院 证∵∫(x)在[a,b连续,必有最大值M和最小值m ()若M=m.则∫(x)=M. 由此得∫(x)=0.v∈(a,b),都有∫()=0 (2)若M≠m.∵∫(a)=f(b, ∴最值不可能同时在端点取得. 设M≠f(a, 则在(ab)内至少存在一点使f()=M. ∵∫(+Δx)sf(,∴∫(ξ+△)-f(9)≤0
江西理工大学理学院 证 (1) 若 M = m. Q f (x) 在[a,b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m. 则 f (x) = M. 由此得 f ′(x) = 0. ∀ ξ∈(a,b), 都有 f ′(ξ) = 0. (2) 若 M ≠ m. Q f (a) = f (b), ∴最值不可能同时在端点 取得. 设 M ≠ f (a), 则在 (a,b)内至少存在一点 ξ 使 f (ξ ) = M. Q f (ξ + ∆x) ≤ f (ξ), ∴ f (ξ + ∆x) − f (ξ) ≤ 0