江画工太猩院 第5节 凹凸、拐点、图形
江西理工大学理学院 第 5 节 凹凸、拐点、图形
江画工太猩院 曲线凹凸的定义 B 问题:如何研究曲线的弯曲方向? y=f(r) y=f(r) x三 x,式 图形上任意弧段位 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 于所张弦的上方
江西理工大学理学院 一、曲线凹凸的定义 问题 :如何研究曲线的弯曲方向 ? x y o x y o x 1 2 x y = f ( x ) 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 x y o y = f ( x ) x 1 2 x 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 A B C
江画工太猩院 定义设f(x)在区间I上连续,如果对Ⅰ上任意两 点x1,x2,恒有f( 1+x2f(x1)+f(x2 < 2,那末称 2 f(x)在I上的图形是(向下)凹的(或凹弧) Xr. 如果恒有f( )f(x)+(x2,那末称f(x) 在Ⅰ上的图形是(向上)凸的(或凸弧). 如果f(x)在a,b上连续,且在(a,b)内的图形是凹 (或凸)的,那末称∫(x)在{a,b内的图形是凹(或凸)的
江西理工大学理学院 定义 在 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）． 如果恒有 那末称 在 上的图形是（向下）凹的（或凹弧） 点 恒有 那末称 设 在区间 上连续 如果对 上任意两 I f x x x f x f x f f x I x x f x f x x x f f x I I , ( ) 2 ( ) ( ) ) 2 ( ( ) ; , 2 ( ) ( ) ) 2 , , ( ( ) , 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 + > + + < + ( ) , ( ) [ , ] ( ) ; ( ) [ , ] , ( , ) 或凸 的 那末称 在 内的图形是凹 或凸 的 如果 在 上连续 且在 内的图形是凹 f x a b f x a b a b
江画工太猩院 二、曲线凹凸的判定 y=f( B y=f()B%1 b x b f(x)递增y">0f(x)递减y<0 定理1如果f(x)在a,b上连续在(a,b)内具有 一阶和二阶导数,若在(n内 (1)f"(x)>0.则f(x)在{a,b上的图形是凹的; (2)f"(x)<0,则f(x)在a,上的图形是凸的
江西理工大学理学院 二、曲线凹凸的判定 x y o y = f(x) x y o y = f ( x ) a b A B f ′( x ) 递增 a b B A y′′ > 0 f ′( x ) 递减 y′′ < 0 定理1 ( 2 ) ( ) 0 , ( ) [ , ] . ( 1 ) ( ) 0 , ( ) [ , ] ; , ( , ) ( ) [ , ] , ( , ) 则 在 上的图形是凸的 则 在 上的图形是凹的 一阶和二阶导数 若在 内 如果 在 上连续 在 内具有 f x f x a b f x f x a b a b f x a b a b ′′ < ′′ >
江画工太猩院 例1判断曲线y=x3的凹凸性 解∷y'=3x2,y"=6x, 当x<Q时,y"<0, 0,1 曲线在(-,.凸的; 当x>0时,y">0,曲线在0,+∞)为凹的; 注意到,点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点
江西理工大学理学院 例1 . 判断曲线 y = x3 的凹凸性 解 3 , 2 Q y′ = x y′′ = 6x, 当x < 0时， y′′ < 0, ∴曲线 在(−∞,0]为凸的； 当x > 0时， y′′ > 0, ∴曲线 在[0,+∞)为凹的； 注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 点