江画工太猩院 第4节 不定积分换元法一
江西理工大学理学院 第 4 节 不定积分换元法一
江西理工大学理学院 第一类换元法 问题cos 2xdx2 sin2 2x+C, 解决方法利用复合函数,设置中间变量 过程令t=2xdx=dt, coS2xdx =costdt=-sint+ C=-sin 2x+C
江西理工大学理学院 问题 ∫ cos2xdx= sin2x + C, 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程 令 t = 2x , 21 ⇒ dx = dt ∫ cos2xdx tdt ∫ = cos 21 = sint + C 21 sin2 . 21 = x + C 第一类换元法
江画工太猩院 在一般情况下: 设F(l)=f(m,则|f(a)dn=F(l)+C 如果l=p(x)(可微) ∵dFlp(x)=八l(x)(x)hx flourlo(x)dx= Flo(x)+C f( )du emory由此可得换元法定理
江西理工大学理学院 在一般情况下： 设 F′(u) = f (u), 则 ( ) ( ) . ∫ f u du = F u + C 如果u = ϕ(x)（可微） Q dF[ϕ(x)] = f [ϕ(x)]ϕ′(x)dx ∫ ∴ f [ϕ(x)]ϕ′(x)dx = F[ϕ(x)]+ C = ∫ = ( ) [ ( ) ] u du u x f ϕ 由此可得换元法定理
江画工太猩院 定理1设∫()具有原函数,l=g(x)可导, 则有换元公式 「g(x)p(x)dx=订jf()dl= 第一类换元公式(凑微分法) 说明使用此公式的关键在于将 「8(x化为/1p(x)t 观察重点不同,所得结论不同
江西理工大学理学院 设 f (u)具有原函数， ∫ f [ϕ(x)]ϕ′(x)dx = ∫ = ( ) [ ( ) ] u du u x f ϕ 第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将 ∫ g(x)dx 化为 [ ( )] ( ) . ∫ f ϕ x ϕ′ x dx 观察重点不同，所得结论不同. u = ϕ( x)可导， 则有换元公式 定理1
江画工太猩院 例刺 sin 2xdx 解(-)J2dk1sn2(2x) --cos2x+ C 解(二)|sin2x=2 sinx cos xd 2 ]sin.xd(inx =(sin x),+C; 解(三)s2xdk=2 sinxcos xdx
江西理工大学理学院 例1 求 sin 2 . ∫ xdx 解（一） ∫sin 2xdx ∫ = sin 2 ( 2 ) 2 1 xd x cos 2 ; 2 1 = − x + C 解（二） ∫sin 2xdx ∫ = 2 sin xcos xdx ∫ = 2 sin xd(sin x ) (sin ) ; 2 = x + C 解（三） ∫sin 2xdx ∫ = 2 sin xcos xdx ∫ = − 2 cos xd(cos x ) (cos ) . 2 = − x + C