《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十章 重积分 10-03 第三节 三重积分

70.5I0.5z = x2 +2y2解由2z=2-x?+得交线投影区域x2+2≤1-0.500.5-1≤x≤1-/1-x? ≤y≤/1-x?故2:x2+2y2≤z≤2-x?-1.I=dxf(x, y,z)dz

故 ： 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 x x y x x y z x  −    − −   −  +   −  , 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 ( , , ) . x x x x y I dx dy f x y z dz − − − − − +  =    解 由 2 2 2 2 2 z x y z x  = +   = − , 得交线投影区域 2 2 x y +  1

例2化三重积分 I=(f(x,y,z)dxdydz为三2次积分，其中积分区域2为由曲面=2+,=x2=1,=0所围成的空间闭区域如图，分析同例1．2: 0≤z≤x?+ ?,1.5x2 ≤y≤1, -1≤x≤1.0:50.50.5I =[dxrdyf(x, y,z)dz0.2550.50.75

例2 化三重积分   I = f (x, y,z)dxdydz为三 次积分，其中 积分区域为由曲面 2 2 z = x + y , 2 y = x , y = 1,z = 0所围成的 空间闭区域. 2 2 2 1 1 1 0 ( , , ) x y x I dx dy f x y z dz + − =    . 分析 同例1. 如图， 2 2 2 : 0 , 1, 1 1. z x y x y x    +   −  

将例3dxf(x, y,z)dz按y,z, xdy0的次序积分，分析同例1.10.80.60.4D0.20.50.20.40.60.8A0≤z≤x?XDr:0≤y≤1

x y z 例 3 将 2 2 1 1 0 0 0 ( , , ) x y dx dy f x y z dz +    按 y z x , , 的次序积分. D1： 2 0 0 1 z x y        D1 分析 同例1

221.5x2≤z≤x2+1D.D,0.5z-x2≤y≤1X0.20.40.60.81["dxf dz" f(x, y,z)dy+原式三dxdzlf(x, y,z)dy.11

2 1 1 0 0 0 ( , , ) x = + dx dz f x y z dy 原式    2 2 2 1 1 1 0 ( , , ) x x z x dx dz f x y z dy +    − . D2 ： 2 2 2 1 1 x z x z x y    +   −   D2

方法2．截面法（“先二后一”）截面法的一般步骤(1)由（例如z轴）投把积分区域Q向某轴影，得投影区间[ci,C2];(2）对zE[ci,C,]用过z轴且平行xoy平面的平面去截，得截面D,;C(3)计算二重积分f(x,J,z)dxdyZD其结果为z的函数F(z);(4)最后计算单积分F(z)dz即得三重积分值

(3)计算二重积分 D z f (x, y,z)dxdy 其结果为z的函数F(z)； (4)最后计算单积分  2 1 ( ) c c F z dz 即得三重积分 值. z 截面法的一般步骤： (1) 把积分区域向某轴（例如 z 轴）投 影，得投影区间[ , ] 1 2 c c ； (2) 对 [ , ] 1 2 z  c c 用过z轴且平行xoy平面的平 面去截，得截面 Dz ; 方法2. 截面法 (“先二后一”)