第三节格林公式及其应用区域连通性的分类格林公式平面上曲线积分与路径无关的等价条件小结思考题
第三节 格林公式及其应用 ◼ 区域连通性的分类 ◼ 格林公式 ◼ 平面上曲线积分与路径无关的等价条件 ◼ 小结 思考题
区域连通性的分类设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域DD(无单连通区域（有复连通区域“洞”区域)“洞”区域)
一、区域连通性的分类 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成 的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否 则称为复连通区域. 复连通区域（有 “洞”区域） 单连通区域（无 “洞”区域） D D
二、1.格林公式定理1设区域D是由分段光滑正向曲线L围成函数 P(x,y),Q(x,)在D上具有连续一阶偏导数则有apdxdy = Φ Pdx + QdyaxayD-（格林公式）或aaaxaydxdy=ΦPdx+Qdy.PQD1
定理1 设区域D是由分段光滑正向曲线L围成, 则有 d d d d D L Q P x y P x Q y x y − = + ( 格林公式 ) 函数 在D上具有连续一阶偏导数, d d d d x y D L x y P x Q y P Q = + 或 二、1. 格林公式
当观察者沿边界行走时，区边界曲线L的正向D总在他的左边/DL由L,与L,连成L由L,与L,组成
L由L1与L2连成 L由L1与L2组成 边界曲线L的正向 当观察者沿边界行走时, 区 域D总在他的左边. L2 D L1 L2 L1 D
证明(1)V若区域D既是X一型文是xE=Y一型,即平行于坐标轴 x=y(y)DB的直线和L至多交于两x+y,(y)点.SCy= Pi(x)xbCD=((x, y)(x)≤y≤P2(x),a≤x≤b)D=((x, y)y(y)≤x≤y2(y),c≤ y≤d)
{( , ) ( ) ( ), } D = x y 1 x y 2 x a x b 证明(1) 若区域D既是X − 型又是 Y − 型,即平行于坐标轴 的直线和L至多交于两 点. {( , ) ( ) ( ), } D = x y 1 y x 2 y c y d y x o a b D cd ( ) y = 1 x ( ) y = 2 x A B C E ( ) 2 x = y ( ) 1 x = y