《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第九章 多元函数微分法及其应用 9-2 第二节 偏导数

第二节偏导数偏导数的定义及其计算法1偏导数的几何意义高阶偏导数■小结思考题

第二节 偏 导 数 n 偏导数的定义及其计算法 n 偏导数的几何意义 n 高阶偏导数 n 小结 思考题

一、偏导数的定义及其计算法定义设函数z=f(x,）在点(xo,J)的某邻域内有定义，将y固定为yo，而x在x,处有增量△x时函数有相应的增量(称为关于x的偏增量)△rz = f(xo + Ax, yo)- f(xo,yo)如果极限Af(x。 + △x,yo)- f(xo,Jo)7limlimAxAr-→>0AxAr-→0存在,则称此极限为函数 z=f(x,y)在点(xo,Jo)处对x的偏导数,记为

一 、偏导数的定义及其计算法 定义 设函数z  f ( x, y) 0 将y固定为y , ( , ) ( , ) 0 0 0 0 z f x x y f x y x          x zx x 0 lim 存在, 0 0 z  f ( x, y)在点( x , y )处 0 0 在点(x , y )的某邻域 内有定义， 0 而x在x 处有增量x时, 函数有相应的增量 如果极限 x f x x y f x y x       ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 则称此极限为函数 (称为关于x的偏增量). 对x的偏导数, 记为

△zf(xo + △x, yo)- f(xo, yo1limlimAxAxAx-→0Ax-→0对x的偏导数，记为Oz.afx=xo, 或 f(xo,yo)7axX=Xoaxy=yoX=Xoy=yoV=yo同理,可定义函数 z= f(x,y)在点(xo,y)处.为对y的偏导数,△,Zf(xo, yo + Ay) - f(xo, yo)limtimAyAy-→0AyAy-→0az.af记为x=xo ,或 f,(xo, yo).z,xayayx=XoX=X0=Voy=yoy=yo

记为 , 0 0 y y x x x z     , 0 0 y y x x x f     , 0 0 y y x x x z   或 ( , ). 0 0 f x y x 同理,可定义函数 z  f (x, y)在点(x0 , y0 )处 为      y zy y 0 lim y f x y y f x y y       ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 记为 , 0 0 y y y x x z     , 0 0 y y y x x f     , 0 0 y y x x y z   或 ( , ). 0 0 f x y y x f x x y f x y x z x x x            ( , ) ( , ) lim lim 0 0 0 0 0 0 对x的偏导数, 对y的偏导数

如果函数 z= f(x,J)在区域D内任一点(x,J)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数仍是x、的二元函数，它就称为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导函数(简称偏导数)az af记作，zx或 f(x,y)ax' ax同理,可定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导函数(简称偏导数)z,of, z记作zy 或 f,(x,y)ay' ay

那么这个偏导数 仍是 x、y 的二元函数, 它就称为函数 如果函数 对自变量x的偏导函数(简称偏导数), 记作 , x z   , x f   x z 或 f ( x, y). x 同理,可定义函数z  f (x, y)对自变量y的 偏导函数(简称偏导数), 记作 , y z   , y f   y z 或 f ( x, y). y 在区域D内任一点 (x, y)处对x的偏导数都存在, z = f (x, y) z = f (x, y)

偏导数的概念可以推广到二元以上函数如,u= f(x,,z) 在(x, y,z)处f(x+Axb y,z)- f(x, y,z)fr(x, y,z) = limAxAr-→0f(x, y+Aylz) - f(x, y,z)f,(x, J,z) =limAyAy-→0f(x, y,z+az) - f(x,y,z)f,(x, y,z) = limAzAz-→>0

偏导数的概念可以 f x ( x, y,z)  f y (x, y,z)  f z (x, y,z)  推广到二元以上函数 如,u  f (x, y,z) 在(x, y,z)处 , ( , , ) ( , , ) lim 0 x f x x y z f x y z x       , ( , , ) ( , , ) lim 0 y f x y y z f x y z y       . ( , , ) ( , , ) lim 0 z f x y z z f x y z z      