第五节隐函数的求导公式(implicitfunction一个方程的情形1方程组的情形小结思考题
( implicit function ) 第五节 隐函数的求导公式 ◼ 一个方程的情形 ◼ 方程组的情形 ◼ 小结 思考题
隐函数在实际问题中是常见的.如平面曲线方程F(x,y)=0空间曲面方程F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0空间曲线方程G(x,y,z)= 0下面讨论如何由隐函数方程求偏导数
隐函数在实际问题中是常见的. 平面曲线方程 空间曲面方程 空间曲线方程 下面讨论如何由隐函数方程 F(x, y) = 0 F(x, y,z) = 0 = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 如 求偏导数
一、一个方程的情形1. F(x,y)= 0在一元函数微分学中曾介绍过隐函数(1)F(x,y) = 0的求导法。现在利用复合函数的链导法给出隐函数(1)的求导公式,并指出：隐函数存在的一个充分条件
一、一个方程的情形 在一元函数微分学中, 现在利用复合函数的链导法给出隐函数(1) 1. F(x, y) = 0 F(x, y) = 0 (1) 的求导法. 并指出: 曾介绍过隐函数 的求导公式, 隐函数存在的一个充分条件
隐函数存在定理1设二元函数F(x,v)在点P(xo,Jo)的某一邻域内满足：1）具有连续偏导数：(2) F(xo, yo) = 0;(3) F,(xo, yo) ± 0,则方程 F(x,y)=0在点 P(xo,yo)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x),它满足条件yo=f(xo),并有dyFr(x,y)隐函数的求导公式dxF,(x,y)(证明从略)仅推导公式。将恒等式F(x,f(x)=0两边关于x求导，由全导数公式，得
隐函数存在定理1 F(x, y) ( , ) 0 0 P x y 设二元函数 的某一邻域内满足: 在点 ( , ) 0, Fy x0 y0 则方程 ( , ) 0; F x0 y0 = y = f (x), ( ), 0 x0 y = f 的某一邻域内 并有 ( , ) ( , ) d d F x y F x y x y y x = − (1) 具有连续偏导数; F(x, y) = 0 ( , ) 0 0 P x y 它满足条件 在点 隐函数的求导公式 (2) (3) 恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 (证明从略)仅推导公式. 将恒等式 两边关于x求导, F(x, ) 由全导数公式,得 f (x) 0
F(x, f(x)= 0dy=0F(x,y)+ F,(x,y)dx由于F,(x,y)连续，且F,(xo,yo)±0,所以存在(xo,yo)的一个邻域,在这个邻域内F,(x,y)≠0于是得F.(x,y)Ldydi或简写：dxdxF,(x,y)
由于Fy (x, y)连续，且Fy (x0 , y0 ) 0， F (x, y) 0, y ( , ) ( , ) d d F x y F x y x y y x = − 或简写: . d d y x F F x y = − ( , ) 0 0 x y 于是得 所以存在 的一个邻域, 在这个邻域内 F (x, y) x F (x, y) + y x y d d = 0 F(x, f (x)) 0