第四节重积分的应用一、立体体积二、曲面的面积三、 物体的质心四、物体的转动惯量五、物体的引力
第四节 重积分的应用 一、立体体积 二、曲面的面积 三、物体的质心 四、物体的转动惯量 五、物体的引力
1.能用重积分解决的实际问题的特点分布在有界闭域上的整体量所求量是对区域具有可加性2.用重积分解决问题的方法·用微元分析法（元素法·从定积分定义出发建立积分式3.解题要点画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便
1. 能用重积分解决的实际问题的特点 所求量是 对区域具有可加性 • 从定积分定义出发建立积分式 • 用微元分析法 (元素法) 分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法
立体体积A曲顶柱体的顶为连续曲面 z= f(x,y),(x,V)E D则其体积为V= J, f(x,y)dxdy占有空间有界域Q的立体的体积为JV=dxdydzC
一、立体体积 • 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为 • 占有空间有界域的立体的体积为 V dxdydz =
例1求曲面 S,:z=x2+y2+1任一点的切平面与曲面S,:z=x2+y"所围立体的体积V.分析曲面S,在点（xo，Jo，z）的切平面方程为z = 2x,x+2yoy+1-x - y?它与曲面 z=x2+y'的交线在xoy面上的投影域为D(x-x) +(y-jo)=1用二重积分求体积V解 V= [,[2x,x+2yoj+1-x?-y2-x? - y2] dxd y= JJ,[ 1-((x-xo)+(y-yo))]dxdyAx-x=rcose, y-y,=rsine元2元r3dr:del三元一20
任一点的切平面与曲面 所围立体的体积V. 解 S1 的切平面方程为 2 2 0 0 0 0 z x x y y x y = + + − − 2 2 1 它与曲面 的交线在xoy面上的投影域为D 2 2 0 0 ( ) ( ) 1 x x y y − + − = d d D V x y = 2 2 − − x y 2 2 0 0 0 0 2 2 1 x x y y x y + + − − 1 d d D = − x y ( ) 2 2 0 0 ( ) ( ) x x y y − + − 0 0 令 x x r y y r − = − = cos , sin 2 = 在点 例1 求曲面 = − 2 1 3 0 0 d d r r 分析 曲面 用二重积分求体积V
例2又求半径为α的球面与半顶角为α的1Z2a内接锥面所围成的立体的体积iM分析在球坐标系下空间立体所占区域为r0≤r≤2acosΦ2:0≤@≤α用三重积分求VyO0≤0≤2元dv=r sin@ded@dr则立体体积为2acosgV= JJJ,dxd ydz=|2 dr"del'sing do]10C34元a1-cos*α)3
x o y z 2a 例2 求半径为a的球面与半顶角为的 内接锥面所围成的立体的体积. 分析 在球坐标系下空间立体所占区 域为 : 则立体体积为 V x y z d d d = 2 cos 2 0 d a r r 3 4 4 ( 1 cos ) 3 a = − 0 2 cos r a 0 0 2 0 sin d 2 0 d = 2 d sin d d d v r r = r M 用三重积分求V