《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第九章 多元函数微分法及其应用 9-3 第三节 全微分

第三节全微分全微分的定义可微的条件■小结思考题

第三节 全 微 分 ◼ 全微分的定义 ◼ 可微的条件 ◼ 小结 思考题

偏导数讨论的只是某一自变量变化时函数的变化率，现在来讨论当各个自变量同时变化时函数的变化情况

函数的变化情况. 偏导数讨论的只是某一自变量变化时 函数的变化率. 现在来讨论当各个自变量同时变化时

一、全微分的定义为了引进全微分的定义，先来介绍全增量全增量的概念设二元函数z=f(x,J)在点 P(x,y)的某邻域内有定义，当变量x、y在点(x,J)处分别有增量△x、△y时，函数取得的增量Az = f(x + Ar, y+Ay) - f(x,y)称为f(x,J)在点(x,)的全增量

先来介绍 全增量的概念 设二元函数z f x y = ( , ) 增量  x y 、 时, z = f (x + x, y + y) − f (x, y) 称为f x y x y ( , ) ( , ) 在点 的 为了引进全微分的定义, 全增量. 域内有定义, 当变量x y x y 、 在点( , )处分别有 函数取得的增量 全增量. 一、全微分的定义 在点 P( x, y) 的某邻

全微分的定义如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量△z=f(x+△Ax,y+Ay)- f(x,y) 可表示为△z = AAx + BAy+ o(p),其中A、B仅与x、y有关,而不依赖于△x、△yp= /(△x)°+(Ay)，则称函数 z= f(x,y)在点(x,y)处可微分,A△x +B△y称为函数 z= f(x,y)在点(x,J)处的全微分.记作dz,即dz = A△x + BAy函数若在某平面区域D内处处可微时，则称这函数在D内的可微函数

全微分的定义 如果函数z f x y x y = ( , ) ( , ) 在点 的全增量 z = Ax + By + o(), 其中A B x y 、 仅与 、 有关, ( ) ( ) , 2 2  = x + y Ax + By x、y, ( , ) x y 处 处的全微分. 可表示为 可微分, z = f (x, y) 在点 (x, y) 则称函数 称为函数 记作 dz, 即 dz = Ax + By. 函数若在某平面区域D内处处可微时, 则称 这函数在D内的可微函数. 而不依赖于 z = f (x, y) 在点 z = f (x + x, y + y) − f (x, y)

z =A△x + BAydz = AAx + BAy+ o(p)注全微分有类似一元函数微分的两个性质：1.dz是△x与△y的线性函数：，高阶无穷小2.△z与dz之差是比p可微与偏导数存在有何关系呢？微分系数A=？B=?全微分的定义可推广到三元及三元以上函数

可微与偏导数存在有何关系呢？ 微分系数 注 1. dz x y 是  与 2. d z z 与 之差是比 dz = Ax + By 全微分有类似一元函数微分的 z = Ax + By + o() A=? B=? 两个性质: 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数. 的线性函数; 高阶无穷小