《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第九章 多元函数微分法及其应用 9-4 第四节 多元复合函数的求导法则

第四节多元复合函数的求导法则1复合函数的求导法则全微分形式不变性■小结思考题

第四节 多元复合函数的 求导法则 ◼ 复合函数的求导法则 ◼ 全微分形式不变性 ◼ 小结 思考题

中间变量为则)一、复合函数的求导法一元函数1. z = f(u,v),u =@(t),v=y(t)的情形定理如果函数u=β(t)及v=(t)都在点t可导函数z= f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数则复合函数z= [g(t),(t))在对应点t可导, 且其导数可用下列公式计算：Oz dydzOz dudt Ov dtOu dt证设t获得增量△t，则 Au = p(t + At)-p(t), Av = y(t + At) -y(t);

一、复合函数的求导法则(链导法则) 证 则u = (t + t) −(t), v = (t + t) −(t); 设 t 获得增量t， 1. 中间变量为 一元函数 z = f (u,v),u = (t),v =(t) 的情形. 定理 如果函数u = (t)及v =(t)都在点t可 导, 函 数z = f (u,v)在对应点(u,v) 则复合函数z = f[(t),(t)]在对应点t可 导, 且 其导数可用下列公式计算: = t z d d 具有连续偏导数, +   t u u z d d . d d t v v z  

可微△z = Au + B△v+ o(p)由于函数 z=f(u,v)在点(u,v)有连续偏导数OzOz.Az =Au+Av+&,Au+&,Av,QuOv当△u→ 0, → 0时 →0, 62 →0Oz.AuAvAzOzAuAv++182△t△t△tOvQu△t△tdzAzOzduOz dylimdtQudtOv dtAt-→0△tdt△t△tdt

z ==  tz , dd tu tu →  , dd tv tv →  可微 z = A u + Bv + o() 由于函数 z f u v u v = ( , ) ( , ) 在点 有连续偏导数  +   +  v vz u uz , 1 2  u +  v 当u → 0, v → 0时, 1 → 0,  2 → 0 +   +   tv vz tu uz tv tu  + 1 2   当t → 0时, u → 0, v → 0 =   → tz t 0 lim  +  tu uz dd tv vz dd   = tzdd

定理推广复合欧于两个的情况三个中间变量二如z = f@@W, u= u(t), v= v(t), w = w(t)u变量树图7VWdz.Oz.azOzdudvdwdtOv dtOwOu dtdtdz，导数称为全导数又称链导公式）dt

复合函数的中间变量多于两个的情况. 定理推广 = t z d d u v w z t 导数 t z d d 变量树图 三个中间变量 如z = f (u,v,w), u = u(t), v = v(t), w = w(t) u z   v z   + t u d d  w z   + t v d d  t w d d  称为全导数(又称链导公式)

如z = f(u,v,w), u = u(t), v= v(t), w = w(t)dzOz du.Oz dvOzdwdt Ou dtOv dtOwdt问：函数对某自变量的偏导数之结构中间变量的个数，项数每一项函数对中间变量的偏导数×该中间变量对其指定自变量的偏导数（或导数）

项数 问: 每一项 中间变量 函数对中间变量的偏导数 该中间变量对其指定自变量的偏导数(或导数). 的个数.  函数对某自变量的偏导数之结构 如z = f (u,v,w), u = u(t), v = v(t), w = w(t) = t z d d u z   v z   + t u d d  w z   + t v d d  t w d d 