第三节三重积分、三重积分的概念二、 三重积分的计算三、小结 思考题
一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 三、小结 思考题 第三节 三重积分
三重积分的概念引例：设在空间有限闭区域2内分布着某种不均匀的物质，密度函数为u(x,y,z)EC,求分布在Q内的物质的质量M解决方法：类似二重积分解决问题的思想，采用可得“分割，求和，取极限”Snu(5k,Nk,Sh)AvkM = lim△Vk2-→0k=1(5k,nkSk)
一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 ( , , ) k k k k v ( , , ) k k k k v 引例: 设在空间有限闭区域内分布着某种不 均匀的物质, ( , , ) , x y z C 求分布在 可得 1 n k= M = lim →0 “分割, 求和, 取极限” 解决方法: 内的物质的质量M. 密度函数为
1.三重积分的定义设f(x,y,z)是空间有界闭区域2上的有界函数将闭区域2任意分成n个小闭区域Avi,Av2,...Av其中表示第个小闭区域也表示它的体积在每个△v,上任取一点;,ni,5),作乘积f(S,n;,S,)Av,(i = 1,2...,n), 并作和(5,n;,5,)Av,如当各小闭区域直径中的最大值i=1
是空间有界闭区域Ω上的 如当各小闭区域直径中的最大值 在每个 i v ( , , ), i i i ( , , ) ( 1,2 , ), i i i i f v i n = 1 ( , , ) . n i i i i i f v = 1 2 , , n v v v 将闭区域Ω任意分成n个小闭区域 其中 i v 并作和 作乘积 f x y z ( , , ) 有界函数. 表示第i个小闭区域,也表示它的体积. 上任取一点 1. 三重积分的定义 设
几趋于零时这和的极限总存在，则称此极限为函数f(x,J,z)在闭区域Q上的三重积分JJ f(x, ,z)dv记为QZ(5i,n,5.)AvV;JJ f(x, ,z)a =lim)即1-→0i-12体积元素
记为 函数 f x y z ( , , ) 趋于零时这和的极限总存在, 0 1 lim ( , , ) n i i i i i f v → = = 则称此极限为 在闭区域Ω上的三重积分. ( , , )d Ω f x y z v 即 ( , , )d Ω f x y z v 体积元素
在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面来划分Q，则△v,=△x;Ayk△zi三重积分记为nZf(5i,n;,5.)Av;.Tf(x, y,z)dxdydz= lim1-0i-12其中 dxdydz叫做直角坐标体系中的体积元素
三重积分记为 f x y z dxdydz ( , , ) 0 1 lim ( , , ) n i i i i i f v → = = . 的平面来划分, 在直角坐标系中，如果用平行于坐标面 . i j k l 则 = v x y z 其中 dxdydz 叫做直角坐标体系中的体积元素