《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十一章 曲线曲面积分 11-07 第七节 斯托克斯公式、环流量与旋度

第七节斯托克斯公式环流量与旋度■斯托克斯公式简单应用环流量与旋度■小结思考题

环流量与旋度 第七节 斯托克斯公式 ◼ 斯托克斯公式 ◼ 简单应用 ◼ 环流量与旋度 ◼ 小结 思考题

斯托克斯（Stokes）公式，Z的定理1设光滑曲面的边界I是分段光滑曲线，P,Q,R 在包含E在内侧与I的正向符合右手法则的一个空间域内具有连续则有一阶偏导数，aQapaRapaRaQIydz+dzdx+dxdiOz0xoyayOzaxZnΦ Pdx+Qdy+RdzZT（斯托克斯公式）X

一、 斯托克斯( Stokes ) 公式 定理1 设光滑曲面的边界是分段光滑曲线, d d d P x Q y R z  = + +  (斯托克斯公式) 的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 的 侧与的正向符合右手法则, 在包含在内   y o z x n Dx y C 则有

证情形1Z与平行z轴的直线只交于nZ一点，设其方程为E:z= f(x,y), (x,y)eDx为确定起见，不妨设取上侧（如图)）则 $_ Pdx=Φ_P(x,y,z(x,y)dx（利用格林公式）a-11P(x,y,z(x,y)dxd yDay

证 情形1 与平行z轴的直线只交于 一点, 设其方程为 : ( , ), ( , ) xy  =  z f x y x y D 为确定起见, 不妨设取上侧 (如图).   y o z x n Dx y C 则 P x d   ( , , ( , ))d C = P x y z x y x  (利用格林公式) ( , , ( , ))d d Dxy P x y z x y x y y  = −  

napap oz-,m[dxdyayOz Qy2apap=-[,[J, Jcos ydsayzX1co=i+f+f,cos β=1+f?+.cosβf,=-cos

 d d Dxy P P z x y y z y    = − +      y cos d P P f S y z     = − +    2 2 1 1 cos , x y f f  + + = 2 2 1 cos , y x y f f f  − + + = cos cos y f    = −   y o z x n Dx y C

apaP cosβ因此§, Pdx=-],[cosyd sayOz cosapapS,[cosy Jdscos pOzayapapS]dzddxdy>Oz.ayaqaq同理可证$,Qdy= J],dydzaxazaRaRf_ Rdx=IdzdxdV(MaxQy三式相加，即得斯托克斯公式：

因此   cos d cos d cos P P P x S y z        = − −      cos cos d P P S z y      = −    d d d d P P z x x y z y    = −    同理可证 Q y d   d d d d Q Q x y y z x z    = −    R x d   d d d d R R y z z x  y x   = −    三式相加,即得斯托克斯公式;