第五节对坐标的曲面积分surface integral预备知识概念的引入概念与性质对坐标的曲面积分的计算法两类曲面积分之间的联系小结
小结 预备知识 概念的引入 概念与性质 对坐标的曲面积分的计算法 两类曲面积分之间的联系 surface integral 第五节 对坐标的曲面积分
对尘标的曲面积分预备知识一、如流体从曲面的这一侧1.有向曲面流向另一侧的流量问题等通常光滑曲面都有两侧观察以下曲面的侧（假设曲面是光滑的曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧
观察以下曲面的侧 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 1.有向曲面 通常光滑曲面都有两侧. 如流体从曲面的这一侧 流向另一侧的流量问题等. (假设曲面是光滑的) 对坐标的曲面积分 一、预备知识
对生标的曲面积分2.曲面的分类(1)双侧曲面一有两侧的曲面.规定法向量的方向来区分曲面的两侧
n 有两侧的曲面. 规定 (1)双侧曲面 2. 曲面的分类 法向量的方向来区分曲面的两侧. 对坐标的曲面积分
对生标的曲面积分Mobius(1790--1868）19世纪德国数学家(2) 单侧曲面一莫比乌斯(Mobius)带它是由一张长方形纸条ABCD,扭转一下将A、D粘在一起，B、C粘在一起形成的环行带.小毛虫在莫比乌斯带上，不通过边界可以爬到任何一点去。这在双侧曲面上是不能实现的决定了侧的曲面称为有向曲面
(2) 单侧曲面 莫比乌斯(Mobius)带. B、C 粘在一起形成的环 不通过边界可以 这在双侧曲面上是不能实现的. 决定了侧的曲面称为 它是由一张长方形纸条ABCD,扭转一下, 将A、D粘在一起， 行带. 小毛虫在莫比乌斯带上, 爬到任何一点去. 有向曲面. 对坐标的曲面积分 Mobius(1790-1868) 19世纪德国数学家
对尘标的曲面积分3.有向曲面在坐标面上的投影设是有向曲面.在有向曲面上取一小块曲面AS,△S在xOy面上的投影(△S)x,为(△)xy当cos>0时当cos0时(△S)x, =} -(A0)x0当cos=0时其中(△α)x,表示投影区域的面积.假定△S上各点处的法向量与z轴的夹角的余弦cos有相同的符号。y恰好等于△S与坐标面xOv的二面角
3. 有向曲面在坐标面上的投影 其中( ) 表示投影区域的面积. xy 设Σ是有向曲面. 曲面S, S在xOy面上的投影(S) x y为 (S) xy = ( ) xy 当cos 0时 − ( ) xy 当cos 0时 0 当cos = 0时 恰好等于 S 与坐标面xOy的二面角. 假定 cos S 的余弦 上各点处的法向量与 z轴的夹角 有相同的符号. 在有向曲面 上 取一小块 对坐标的曲面积分