2.三重积分存在性当f(x,y,z)的三重积分存在性时，称f(x,y,z)在2上是可积的连续函数一定可积3.三重积分的几何意义设被积函数f(x,y,z)=1,则区域V的体积为V = JJ 1 . dv
设被积函数 f x y z ( , , ) 1, 1 d V V v = 连续函数一定可积 则区域V 的体积为 在Ω上是可积的. f x y z ( , , ) 的三重积分存在性时, f x y z ( , , ) 2. 三重积分存在性 3.三重积分的几何意义 当 称
二、 三重积分的计算1.直角坐标系中将三重积分化为三次积分方法1．投影法（“先一后二”）Z如图，闭区间Ω 在xoyz=zz(x,y)面上的投影为闭区域D，Z2S一!QS, : z=zi(x,y),sS, : z = z(x, y),z=z(x,)0过点xV)ED作直线ayDh(x,ye= y2(x)从Z穿入，从Z穿出。y= yi(x)X
1. 直角坐标系中将三重积分化为三次积分． 二、三重积分的计算 x y z o D 1 z 2 z S2 S1 1 z z x y = ( , ) 2 z z x y = ( , ) a b 1 y y x = ( ) 2 ( , ) x y y y x = ( ) 1 1 2 2 : ( , ), : ( , ), S z z x y S z z x y = = 方法1. 投影法 (“先一后二”) 如图，闭区间 在 面上的投影为闭区域 ， xoy D 过点 ( , ) x y D 作直线 从 z1 穿入，从 z2 穿出
先将x,看作定值，将f(x,y,z)只看作z的函数，则z2(x,y)F(x,y) =f(x, y,z)dzz(x,y)计算F(x,J)在闭区D上的二重积分z2(x,y)JJj[ F(x, J)do = ]f(x, y,z)dzjdo.zi(x,y)DD: D: i(x)≤y≤yz(x), a≤x≤b,得
2 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , , ) z x y z x y F x y f x y z dz = 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) [ ( , , ) ] . z x y z x y D D F x y d f x y z dz d = 1 2 D y x y y x a x b : ( ) ( ), , 得 先将 看作定值，将 只看作 的 函数，则 x y, f x y z ( , , ) z 计算 F x y ( , ) 在闭区D上的二重积分
JJ f(x, y,z)dv2万y2(x)z2(x,y)dxdyf(x, y,z)dz.Ji(x)aZi(x,y注意这是平行于7轴且穿过闭区域Q内部的直线与闭区域Q的边界曲面S相交不多于两点情形
f x y z dv ( , , ) = 2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) . b y x z x y a y x z x y dx dy f x y z dz 注意 这是平行于 轴且穿过闭区域 内部的 直线与闭区域 的边界曲面 相交不多 于两点情形。 z S
I = [ f(x, y,z)dxdydz为例1化三重积分O三次积分，其中积分区域Q为由曲面=x2+2y2及z=2－x2所围成的闭区域分析解这种题的一般步骤是：先画出积分域的草图，找出积分域在坐标面上的投影域；其次列出所要积分次序的联立不等式；最后写出三次积分的表示式
例 1 化三重积分 I f x y z dxdydz ( , , ) = 为 三次积分，其中积分区域为由曲面 2 2 z x y = + 2 及 2 z x = −2 所围成的闭区域. 分析 解这种题的一般步骤是：先画出积分域的草图 ，找出积分域在坐标面上的投影域；其次列出所要积 分次序的联立不等式；最后写出三次积分的表示式