沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第5章 二次型

其矩阵表达式为：35xi537f(x,X2,x)=(xX2xX2.759X3沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 其矩阵表达式为：   1 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 5 ( , , ) 3 5 7 5 7 9 x f x x x x x x x x          

例2设对称矩阵231534A=51.则矩阵A所对应的二次型为32453f(xi,X2,x3)= xIAx=(x X2 X3X25= 2x2 +4x2 +x +6x,X2 +2xX +10x2X3沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 2 3 1 3 4 5 1 5 1        A 例2 设对称矩阵 则矩阵A所对应的二次型为   1 T 1 2 3 1 2 3 2 3 2 3 1 ( , , ) 3 4 5 1 5 1 x f x x x x x x x x               x Ax 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3  2x  4x  x  6x x  2x x 10x x

例3二元二次型f(X1,x2) = x2 +5x2 +6xix2求 R(f)解二次型的矩阵3A=53显然R(A) = 2故R(f) = 2沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 2 2 1 2 1 2 1 2 f (x , x )  x  5x  6x x R( f ) 1 3 3 5        A 例3 二元二次型 求 解 二次型的矩阵 R(A)  2 R( f )  2 显然 故

三、线性变换与合同矩阵定义2设x1,X2,... ,Xn和y1,y2,..,yn为两组变量，称关系式：Xi = Ciiyi +Ci2y2 +... + CinynX2 = C21yi +C22y2 +... + C2nyn[Xn =Cniyi+Cn2y2 +... +Cnnyn为由，2，…，到,2，，,的一个线性变换沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 三、线性变换与合同矩阵 定义2 设 x 1 , x 2 ,  , x n 和 1 2 , , , n y y  y 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n nn n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y                      为两组变量，称关系式： 为由 x 1 , x 2 ,  , x n 到 y 1 , y 2 ,  , y n 的一个 线性变换

记xyCi1C121ny2C2C222nX二.CCn2nn则上述线性变换可以写成：X=C1沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 记 1 1 11 12 1 2 2 21 22 2 1 2 , , n n n n n n nn x y c c c x y c c c x y c c c                                                x y C 则上述线性变换可以写成： x  Cy