x =Cy其中矩阵C称为变换的系数矩阵.若C可逆，线性非退变换称为可逆线性变换（或称满秩线性变换、化线性变换），此时有y=C-x;若C不可逆，则称为不可逆线性变换（或称降秩退化线性变换）；若C为正交矩阵，则称线性变换、为正交变换沈阳师范大学《线性代数》课题组
《线性代数》课题组 线性变换、退化线性变换）；若C为正交矩阵，则称 其中矩阵C称为变换的系数矩阵.若C可逆,线性 变换称为可逆线性变换（或称满秩线性变换、非退 1 化线性变换），此时有 y C x ； 若C不可逆，则称为不可逆线性变换（或称降秩 为正交变换. x Cy
如果对n元二次型f(x,,,x)=xTAx进行可逆线性变换x=Cy，则有xT Ax = (Cy)T A(Cy) = yTCT ACy = yT By其中B=CTAC因为BT =(CTAC)T =CTAT(CT)T =CTAC= B则yBy也是二次型的矩阵表示。沈阳师范大学《线性代数》课题组
《线性代数》课题组 如果对n元二次型 f ( x1 , x2 , , x n ) x T A x 进行可逆 线性变换 x C y ，则有 T T T T T x Ax (Cy) A(Cy) y C ACy y By 其中 T B C AC 因为 T T T T T T T T B (C AC) C A (C ) C AC B 则 y T B y 也是二次型的矩阵表示
定义3两个n阶矩阵A和B，如果存在n阶可逆矩阵C使得CTAC=B记作称A与B合同，A=B称C为合同变并称由A到B的变换为合同变换，未换的矩阵显然，若 A_ B，则必有R(A)=R(B沈阳师范大学《线性代数》课题组
《线性代数》课题组 A B 定义3 两个n阶矩阵A和B，如果存在n阶可逆矩阵C， T C AC B 称A与B合同，记作 并称由A到B的变换为合同变换，称C为合同变 换的矩阵. 显然，若 A B ，则必有 R(A) R(B) 使得
特别的，若x=Cy是正交变换，即C是正交矩阵，则有B =CTAC=C-1AC即经过正交变换，二次型矩阵不仅合同而且相似沈阳师范大学《线性代数》课题组
《线性代数》课题组 x Cy C 是正交矩 T 1 B C AC C AC 特别的，若 即经过正交变换，二次型矩阵不仅合同而且相似. 是正交变换，即 阵，则有
合同矩阵的性质（1）反身性A_A（2）对称性若A=B，则B=A（3）传递性若A=B，B=C，则AC沈阳师范大学《线性代数》课题组
《线性代数》课题组 合同矩阵的性质 A A A B B A A B B C A C （1）反身性 （2）对称性 若 ，则 （3）传递性 若 ， ，则