沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第5章 二次型

于是二次型可以写成：f(xi,X2,...,xn) =ax +ai2xx2 +... +ainxix+a21X2X+a2x2+...+a2nX2xn+..+anxnXi +an2xnx2 +...+anmXnn.YnZa,x,xj二i,j=lC沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 于是二次型可以写成： 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 ( , , , ) n n n f x x  x  a x  a x x  a x x 2 21 2 1 22 2 2 n 2 n a x x  a x  a x x  2 n1 n 1 n2 n 2 nn n a x x  a x x  a x , 1 n ij i j i j a x x   

2．用矩阵表示记xaaInX2an1a22danx=··.anlanann则上述二次型可记作：aXX2annnAxf(x,x,,x)=(xXxYandnm沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 记 1 11 12 1 2 21 22 2 1 2 , n n n n n nn x a a a x a a a x a a a                          x A 则上述二次型可记作：   11 12 1 1 21 22 2 2 T 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) n n n n n n nn n a a a x a a a x f x x x x x x a a a x                        x Ax 2．用矩阵表示

其中A为对称矩阵，我们把A称为二次型f的矩阵，把f 称为对称矩阵A的二次型，A的秩称为二次型f 的秩记作R(f).X232nnAxf(x,x2,..,x)=(xX...万an2Qnl沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 记作R( f ). 其中A为对称矩阵，我们把A称为二次型 f 的矩阵，把 f 称为对称矩阵A的二次型，A的秩称为二次型 f 的秩，   11 12 1 1 21 22 2 2 T 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) n n n n n n nn n a a a x a a a x f x x x x x x a a a x                        x Ax

任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型.因此一一对应二次型对称矩阵沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 因此 二次型 一一对应 对称矩阵 任给一个二次型,就唯一地确定一个对称矩阵； 反之,任给一个对称矩阵,也可唯一地确定一个 二次型

例1写出三元二次型f(x,x2,x)=x2 +5x2 +9x +6xx2 +10xx +14xx的矩阵和矩阵表示式解 因为a1 =1,a22 =5,a33 =9,a2 =α21 =3,a3 =a1 =5,a23 =a2 = 7所以f(x,x2,x)的矩阵5/3753A=957沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 例1 写出三元二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f (x , x , x )  x 5x 9x 6x x 10x x 14x x 的矩阵和矩阵表示式 解 因为 11 22 33 12 21 13 31 23 32 a 1,a 5,a 9,a a 3,a a 5,a a 7 所以 1 2 3 f (x , x , x )的矩阵 1 3 5 3 5 7 5 7 9        A