简介：导数的起源可追溯到17世纪上半叶，当时，蓬勃发展的自然科学面临四类吸待解决的问题：1、瞬时速度问题及其逆问题2、由透镜需要而出现的切线问题3、求炮弹最远射程，确定近日点远日点的最值问题4、与求面积体积等相关的求和问题那时期，几乎所有的科学大师都致力于解决这些数学难题。伴随着这些问题的深入研究，微积分应运而生，不断发展完善，茁壮成长，结出了累累硕果而导数是微积分的一个重要组成部分，它的产生与瞬时速度问题和切线问题的精心探索密切相关
简介: 导数的起源可追溯到17世纪上半叶，当时，蓬勃发 展的自然科学面临四类亟待解决的问题： 1、瞬时速度问题及其逆问题； 2、由透镜需要而出现的切线问题； 3、求炮弹最远射程 ，确定近日点远日点的最值问题； 4、与求面积体积等相关的求和问题。 那时期，几乎所有的科学大师都致力于解决这些数 学难题。伴随着这些问题的深入研究，微积分应运 而生，不断发展完善，茁壮成长，结出了累累硕果。 而导数是微积分的一个重要组成部分，它的产生与 瞬时速度问题和切线问题的精心探索密切相关
一、 引例1.变速直线运动的瞬时速度问题设描述质点运动位置的函数为s= s(t)则to到t的平均速度为自由落体运动s(t)-s(t.) - AsV=Att-to在to时刻的瞬时速度为s(to)s(t)s(t)-s(to)V(t,)?=tot-to
s O 一、 引例 1. 变速直线运动的瞬时速度问题 设描述质点运动位置的函数为 则 到 的平均速度为 v 0 s t s t ( ) ( ) 0 t t 在 时刻的瞬时速度为 0 v t v ( ) 0 s t s t ( ) ( ) 0 t t 2 2 1 s gt 自由落体运动 0 t 0 s t( ) s t( ) t Δ Δ s t 0 0 ?
一、 引例1.变速直线运动的瞬时速度问题s(t)-s(to)(t)~=一t-toNcxpton数学实验：自由落体运动的路程函数s=gt，g=9.80，计算[11+△内的平均速度s(to)s(t)s(t)-s(to)0V(t,)?=LO0t-to
s O 一、 引例 1. 变速直线运动的瞬时速度问题 0 t 0 s t( ) s t( ) t 0 Δ ( ) Δ s v t v t 0 s t s t ( ) ( ) 0 t t 数学实验： 自由落体运动的路程函数 ,计算[1, 1+Δt]内的平均速度. 1 2 2 s gt g , 9.80 0 v t v ( ) 0 s t s t ( ) ( ) 0 t t 0 0 ?
一、 引例1.变速直线运动的瞬时速度问题s(t)-s(to)A以(t)~=Att-toN'cxpton数学实验：自由落体运动的路程函数s=gt，g=9.80，计算[11+△t内的平均速度数学实验（结果）At0.10.010.0010.000001+00.00010.00001V10.290009.809.8490009.8049009.8004909.8000009.800000s(1+△t)-s(1)9.80lim=limlimAt-0At-0AtAf-0
一、 引例 1. 变速直线运动的瞬时速度问题 0 Δ ( ) Δ s v t v t 0 s t s t ( ) ( ) 0 t t 数学实验： 自由落体运动的路程函数 ,计算[1, 1+Δt]内的平均速度. 1 2 2 s gt g , 9.80 数学实验(结果) Δt 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 v 10.29000 9.849000 9.804900 9.800490 9.800000 9.800000 0 9.80 Δ 0 Δ 0 Δ 0 Δ (1 Δ ) (1) lim lim lim 9.80 t t t Δ Δ s s t s v t t
一、 引例1.变速直线运动的瞬时速度问题s(t)-s(to)以(t.)~=t-toNexptonlimv平均速度（近似）At0瞬时速度（9.80）从而在t。时刻的瞬时速度为s(ts4089ims(t)-s(to)=妈迪福t→toAt-0t-to
一、 引例 1. 变速直线运动的瞬时速度问题 Δ 0 Δ 0 Δ 0 Δ (1 Δ ) (1) lim lim lim 9.80 t t t Δ Δ s s t s v t t 0 Δ ( ) Δ s v t v t 0 s t s t ( ) ( ) 0 t t 平均速度(近似) Δ 0 lim t v 瞬时速度(9.80) 0 v t( ) 从而在 时刻的瞬时速度为 v Δ Δ s t = Δ 0 lim t Δ 0 lim t 0 0 Δ 0 ( Δ ) ( ) lim t Δ s t t s t t 0 0 0 ( ) ( ) lim t t s t s t t t