《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第一章 函数与极限_1-6极限存在准则 两个重要极限

第六节极限存在准则两个重要极限一、函数极限与数列极限的夹逼准则两个重要极限二D

二、 两个重要极限 一、函数极限与数列极限的夹逼准则 第六节 极限存在准则 两个重要极限

1.数列极限的夹逼准则（准则I）(l)yn≤xn≤zn(n=l,2,)limxn=a(2) lim yn = lim zn = αn→00n8n8证：由条件(2)，V>0,3N,N2当n>N时,yn-a<当n>N,时,|znα<令 N=max(Ni,N2),则当n>N 时,有a-<yna+,a-<zn<a+,由条件(1)a-yn≤xn≤zn<a+即x,-a<，故limxn=a.n-0

y z a n n n n     (2) lim lim 1. 数列极限的夹逼准则（准则I） (1) y  x  z ( n  1, 2 ,  ) n n n x a n n   lim 证:由条件 (2) ,    0 , , N1 当 时, 当 时, 令 max ,  , N  N1 N2 则当 n  N 时, 有 由条件 (1) n n n a    y  x  z  a   即 x  a   , n 故 lim x a . n n   , N2

2.函数极限存在的夹逼准则（准则I'）当xeU(xo,)时, g(x)≤f(x)≤ h(x),且(|x|>X >0)lim g(x) = lim h(x)= AX→XoX→X0(X0)(x→(00)lim f(x)= AX→Xo(0)

2. 函数极限存在的夹逼准则（准则Iʹ） ( , ) , 当 x U x0  时   g x h x A x x x x     lim ( ) lim ( ) 0 0 g ( x)  f (x)  h( x) , f x A x x   lim ( ) 0 ( x  X  0 ) ( x  ) ( x  ) ( x  ) 且

例1 求 limn-→00/n+nn解In2++In+nn1n又limlimn->00n-00Vn+nnnlimlim由夹逼准则得n→>8n20limn-00七Jn+n2

例1 2 2 2 1 1 1 lim ( ). 1 2 求 n n n n n         解 2 2 2 2 1 1 , 1 1 n n n n n n n n         2 1 lim lim 1 1 又 n n n n n n      1, 2 2 1 lim lim 1 1 1 n n n n n      1, 由夹逼准则得 2 2 2 1 1 1 lim( ) 1. 1 2 n n n n n        

3.单调有界准则如果数列x满足条件单调增加X≤x..≤x≤xntI≤..,单调数列单调减少X ≥x2..≥xn ≥xn+1 ≥..",准则II单调有界数列必有极限几何解释：AMXXX2Xxnn+1

3.单调有界准则 如果数列xn 满足条件 1 2 1 , n n x x x x      单调增加 1 2 1 , n n x x x x      单调减少 单调数列 几何解释: x 1 x 2 x 3 x n x n 1 x  A M 准则II 单调有界数列必有极限