第三章第四节函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法二、曲线的凹凸与拐点
第四节 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点 函数的单调性与 曲线的凹凸性 第三章
一、函数单调性的判定法定理1.设函数f(x）在开区间I内可导，若f(x)>0(f(x)<O)，则f(αx)在I内单调递增(递减）证：无妨设'(x)>0,xEI,任取Xi,X2EI (X<x2)由拉格朗日中值定理得f(x2)- f(x)= f'()(x2 -x)> 0E(Xi,X2)CI故 f(x)<f(x2).这说明 f(x)在I内单调递增证毕
一、 函数单调性的判定法 定理 1. 设函数 若 ( f ( x) 0), 则 在 I 内单调递增(递减) . 证: 无妨设 任取 由拉格朗日中值定理得 0 故 这说明 在 I 内单调递增. 在开区间 I 内可导, 证毕
例1.确定函数 f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间解: f'(x) = 6x2 -18x+12 = 6(x -1)(x - 2)令f(x)=0,得x=1, x=21(1,2)(-8,1)2(2, +00)x0f'(x)f(x)V2故f(x)的单调增区间为(-00,1]，[2,+);f(x)的单调减区间为[1,2]112x
例1. 确定函数 的单调区间. 解: ( ) 6 1 8 1 2 2 f x x x 6( x 1) ( x 2) 令 f ( x) 0 , 得 x 1, x 2 x f ( x) f (x) ( , 1) 2 0 0 1 (1 , 2) (2 , ) 2 1 故 的单调增区间为 ( , 1] , [2 , ); 的单调减区间为 [1 , 2]. 1 2 O x y 1 2
说明：1）单调区间的分界点除驻点外，也可是导数不存在的点例如, y=/x?,xE(-00,+8)yly=/x?233xOXX=0=00V2如果函数在某驻点两边导数同号则不改变函数的单调性例如, y=x3,xE(-00,+80)xy'= 3x2lx=0 = 0
y O x 说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 3 2 y x 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, y O x 3 y x
单调性可以用来证明不等式，零点个数例2．试证明当x>1时,有2/反>3-1证明 考虑函数(t)=2V-(3-），只要证f(x)>0(x>1)即可Vx3-111f(x)=x当x>1时,f'(x)>0，因此在[1,+oo]上f(x)单调增加从而当x>1时，f(x）>f()由于f(1)=0，故f(x)>f(I)>0，即2/k-(3-})>0. =2/>3-1.x
单调性可以用来证明不等式，零点个数. 例2. 试证明当 x 1 时,有 . 1 2 3 x x 考虑函数 ，只要证 即可. 1 f x x ( ) 2 3 x f x x ( ) 0( 1) 3 2 2 1 1 1 '( ) x f x x x x 1 , ( ) 0 [1, ] ( ) 1 ( ) (1). 当 时 ，因此在 上 单调增加， 从而当 时， x f x f x x f x f 证明 1 2 - 3 0, x x 由于f f x f (1) 0 ( ) (1) 0 ，故 ，即 1 2 3 . x x