第三节高阶导数一、高阶导数的概念二、高阶导数的运算法则
二、高阶导数的运算法则 第三节 一、高阶导数的概念 高阶导数
一、高阶导数的概念引例：变速直线运动s=s(t)ds速度即=sVdtdv加速度dtd即a=(s')
一、高阶导数的概念 速度 即 v s 加速度 即 a (s ) 引例：变速直线运动
定义.若函数y=f(x)的导数y=f(x)可导，则称dV，即f(x）的导数为f(x）的二阶导数，记作y"或dx2或y"=(y)类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，依次类推n-1阶导数的导数称为n阶导数，分别记作（n)1（4y".d'ydnyd4y或dx3dxndx
定义. 若函数 y f (x) 的导数 y f ( x) 可导, 或 即 y ( y ) 或 ) d d ( d d d d 2 2 x y x x y 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 或 的导数为 f (x) 的二阶导数 , 记作 依次类推 , 分别记作 则称
例1. 设 y=ao +ax+a2x? +..+a,x",求 y(n)解:y'=a +2azx+ 3agx? + ..+ nanxn-ly" = 2 .la2 + 3. 2ax +.. + n(n -1)a,xn-2依次类推，可得y(n) = n!an思考：设=x（μ为任意常数）,问(n）=？(x")(m) = μ(μ- 1)(μ- 2)...(μ- n + 1)xu-n
设 求 解: y a1 2a2 x 1 n n na x y 2 1a2 a x3 3 2 2 ( 1) n n n n a x 依次类推 , n n y n!a ( ) 2 3 3a x 例1. 思考: 设 ( 为任意常数 ), y x 问 可得
例2. 设 y=eax, 求y(n)解: y'=aeax, y"=a’eax,y"y(n) =a"eax1- x特别有：(e")(n) =er1(1- x)例3. 设 y= ln(1+x),求 y(n)11·2y"= (-1)2解：(1 +x)2(1 +x)31+xj(n) = (-1)"-1 (n-1)!规定0！=1(1+x)n思考: =ln(1-x),y() =-(n-1)!(1-x)n
n (1 x) e , , y a 3 ax 例2. 设 求 解: 特别有: 解: (n 1)! 规定 0 ! = 1 思考: e , ax y . (n) y e , ax y a e , 2 ax y a n n ax y a e ( ) x n x (e ) e ( ) 例3. 设 求 , 1 1 x y , (1 ) 1 2 x y , (1 ) 1 2 ( 1) 3 2 x y (n) y 1 ( 1) n x y 1 1 y 2 (1 ) 1 x