第五节第三章函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法二、最大值与最小值问题
二、最大值与最小值问题 一、函数的极值及其求法 第五节 函数的极值与 最大值最小值 第三章
一、函数的极值及其求法定义：设函数f(x)在(a,b)内有定义，xo E(a,b)若存在xo的一个邻域，在其中当x≠xo时，(1）f(x）<f(xo）,则称xo为f(x）的极大值点称f（xo）为函数的极大值(2）f(x）>f(xo），则称xo为f(x）的极小值点，称f（xo）为函数的极小值极大值点与极小值点统称为极值点
定义: 在其中当 时, (1) 则称 为 的极大值点 , 称 为函数的极大值 ; (2) 则称 为 的极小值点 , 称 为函数的极小值 . 极大值点与极小值点统称为极值点 . 一、函数的极值及其求法
V例如，函数f(x)=2x3-9x2+12x-32x=1为极大值点，f(1)=2是极大值x=2为极小值点，f(2）=1是极小值O12注意：1）函数的极值是函数的局部性质2）对常见函数，极值可能出现在导数为0或不存在的点X1,X4为极大值点X2,X5为极小值点X3不是极值点Oaxxxxxbx
注意: 3 x x1 4 O a x b x y 1 4 x , x 为极大值点 2 5 x , x 为极小值点 3x 不是极值点 2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点. 1) 函数的极值是函数的局部性质. ( ) 2 9 1 2 3 3 2 例如 , f x x x x 为极大值点, 是极大值 为极小值点, 是极小值 函数 1 2 O x y 1 2 2 x 5 x
定理1（极值第一判别法）设函数f(x）在xo的某邻域内连续，且在空心邻域内有导数，当x由小到大通过xo时，(1)f(x）“左正右负”，则f(x)在xo取极大值(2)f(x）“左负右正”,则f(x)在xo取极小值；点击图中任意处动画播放暂停
定理 1 (极值第一判别法) ( ) , 设函数 f x 在 x0 的某邻域内连续 且在空心邻域 内有导数, , 当x由小到大通过 x0时 (1) f (x) “左正右负” , ( ) ; (2) f (x) “左负右正” , 则 f x 在 x0 取极小值 ( ) . 则 f x 在 x0 取极大值 点击图中任意处动画播放\暂停
例1.求函数f(x)=(x-1)x3 的极值解:1)求导数(a)=x3+(x-1)x-=量2）求极值可疑点令f(x)=0,得x=；令f()= 00,得x=03）列表判别|(0,3) 131(g,+8)(-8,0)01f'(x)-0.33f(x): x=0 是极大值点,其极大值为f(0)=0 —14x是极小值点，其极小值为f（）=-0.33X=
例1. 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数 3 2 f (x) x 3 1 3 2 ( 1) x x 3 5 2 3 5 x x 2) 求极值可疑点 令 f ( x) 0 , 得 ; 5 2 x1 令 f ( x) , 得 0 x2 3) 列表判别 x f (x) f (x) 0 5 2 0 0 0.33 ( , 0) (0 , ) 5 2 ( , ) 5 2 是极大值点，其极大值为 是极小值点，其极小值为 1 x y 1 O