第四章第二节换元积分法一、第一类换元法二、第二类换元法
二、第二类换元法 第二节 一、第一类换元法 换元积分法 第四章
基本思路设F'(u)=f(u)，u=β(x)可导，则有dF[o(x)= f[0(x)lo'(x)dx[ f[p(x)]p'(x)dx =F[0(x)]+ C = F(u)+ Cu=(x)=J f(u)du|u=g(x)第一类换元法J f(u)du[ [(x)]g'(x)dx第二类换元法
第二类换元法 第一类换元法 基本思路 设 F (u ) f (u ) , 可导, F [ ( x ) ] C ( ) ( )d u x f u u ( ) ( ) C u x F u dF [ ( x ) ] f [ ( x ) ] ( x )d x 则有
一、第一类换元法定理1.设f(u)有原函数，u= (x)可导，则有换元公式J f[o(x)]p(x)dx =J f(u)duu= p(x)即[ f[o(x)]p'(x)dx = f(o(x)d p(x)（也称微分法）
一、第一类换元法 定理1. 设 f (u ) 有原函数 , u ( x ) 可 导 , 则有换元 公式 f (u)du u ( x ) f ( ( x) )d ( x) (也称 即 f [ ( x ) ] ( x )dx 凑微分法)
注:(f[p(x)lo'(x)dx由定理可见，虽然是一整体记号，但可把dx视为自变量微分→[ f[d(x)]p(x)dx=[ [p(x)dp(x) 一—凑微分u=p(x)[ f(u)du——换元[F(u)+C], u=e(x) 一一回代=F[p(x)]+C步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量
注: dx 由定理可见，虽然 f x x x [ ( )] ( )d 是一整体记号，但可把 视为自变量微分 f x f x [ ( )] [ ( ) ( )d d ) x x ] (x ——凑微分 步骤： 凑微分；换元求出积分；回代原变量 u x ( ) f u u ( )d ——换元 F u C ( ) ( ) u x F x C [ ( )] ——回代
例1.求「sin 2 xdx.解：(sin2xdxsin2x-(2x)'dx---凑微分sin2xd(2x)令u=2xsinudu ----换元cosu+C2u=2xcos(2x)+C--回代原变量2
例1. 求 sin 2 d . x x 解: sin 2 dx x sin 2 d x x (2 ) x 1 2 1 sin 2 d(2 ) 2 x x 令u x 2 1 sin d 2 u u 1 cos 2 u C 2 u x 1 cos(2 ) . 2 x C -凑微分 -换元 -回代原变量