《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第二章 导数与微分_2-5 函数的微分

练习1．已知y=1+xe,求yx=0解得：+xye*y=10E1-x’ewx =t-ln(l+t)d求练习2.y=t3+t2dx?解得：=32 +5 + 2,心(t +1)(6t +5)dx

练习1. 解得: 练习2. 解得:

第五节函数的微分一、微分的概念二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用

二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 第五节 一、微分的概念 函数的微分

一、微分的概念引例：一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由xo变到xo+△x，问此薄片面积改变了多少？设薄片边长为x，面积为A，则A=x2，当x在x取得增量△x时，面积的增量为XoAxAxAx△A = (xo + △x)? - xo= 2xoAx +(Ax)OXoAxA=xoXo关于△x的△x→0时为高阶无穷小线性主部故A~2xoAx称为函数在xo的微分

一、微分的概念 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 , 2 A  x 0x x 面积的增量为 x x 0 2 0 A  x x x 0 2 (x) 关于△x 的 线性主部 高阶无穷小 x  0 时为 故 称为函数在 x0 的微分 当 x 在 0x 取 得增量 x 时, 0x 变到 , 0 边长由 x  x 其

定义：若函数y=fx）在点Xo的增量可表示为△ y= f(xo + △x) - f(xo) = A△x + o(△x)（A为不依赖于△x的常数）则称函数 = f(x)在点xo可微，而 A△x 称为f(x)在点xo的微分，记作dy或df，即dy= A△x定理：函数=f(x）在点xo可微的充要条件是y=f(x)在点xo处可导,且A=f(xo),即dy= f'(xo)Ax

的微分, 定义: 若函数 在点 x0 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 y  f (x) 而 A x 称为 记作 即 dy  Ax 定理: 函数 在点 x0 可微的充要条件是  Ax  o(x) 即 dy  f (x )x 0 在点 可微

定理：函数y=fx）在点xo可微的充要条件是y=f(x）在点xo处可导，且A=f'(xo)，即dy = f'(xo)Ax证：“必要性”已知=f(x)在点 xo可微，则△ y= f(xo + △x) - f(xo) = A△x +o(△x)0(△x)Ay= lim(A+)limAxAx-0 △xAx->0故y=f(x）在点xo可导，且f(xo）=A

定理 : 函数 证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则 ( ) ( ) 0 0  y  f x  x  f x ) ( ) lim lim ( 0 0 x o x A x y x x             A 故  Ax  o(x) 在点 可导, 且 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 dy  f (x )x 0