《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第七章 微分方程_7-3 齐次方程

第七章第三节齐次方程一、齐次方程*二、可化为齐次方程的方程

齐次方程 第三节 一、齐次方程 *二、可化为齐次方程的方程 第七章

一、齐次方程d=0()形如的方程叫做齐次方程dx1dudy解法：令u=,则y=ux，=u+xdxdxXdu代入原方程得p(u)u+xdxdudx分离变量：p(u)-uxdu两边积分，得p(u)-uX积分后再用二代替u，便得原方程的通解X

一、齐次方程 形如 的方程叫做齐次方程 . 令 , x y u  代入原方程得 ( ) d d u x u u  x   x x u u u d ( ) d    两边积分, 得     x x u u u d ( ) d  积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解. 解法: 分离变量:

例1.解微分方程 y'=+tanXX解：令u=,则y=u＋xu,代入原方程得Xu+xu=u+tanudxcosudu=分离变量sinuxdxcosu此处C±0两边积分dusinuX得In sinu=In x+In C,即 sinu=Cx故原方程的通解为sin二=Cx（C为任意常数）（当C=0时，y=0也是方程的解）

例1. 解微分方程 tan . x y x y y    解: , x y 令u  则y   u  x u  , 代入原方程得 u  x u   u  tan u 分离变量 x x u u u d d sin cos  两边积分    x x u u u d d sin cos 得 ln sin u  ln x  ln C , 即 sin u  C x 故原方程的通解为 C x x y sin  ( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解) ( C 为任意常数 ) 此处 C  0

例2.解微分方程呈(y2-2xy)dx+x2dy=0=2-（)，令=解：方程变形为dxxx则有u+xu'-2u-u?dudxdx分离变量即（dux-uu-1Uxx(u-1)u-即积分得In:-ln|x|+InC,uu代回原变量得通解x(y-x）=Cy（C为任意常数）说明：显然x=0,=0,=x也是原方程的解，但在求解过程中丢失了作业

例2. 解微分方程 解: 2   , d d 2 x y x y x y 方程变形为   , x y 令 u  则有 2 u  x u   2u  u 分离变量 x x u u d u d 2    积分得 ln ln , 1 ln x C u u       x x u u u d d 1 1 1     即 代回原变量得通解 即 C u x u  ( 1) x ( y  x )  Cy 说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在 (C 为任意常数) 求解过程中丢失了. 作业

*二、可化为齐次方程的方程dyax+by+c(c2 +c ± 0)dxaix+biy+ci1.当=时,作变换 x=X+h,y=Y+k（h,k为待6定常数），则dx=dX，dy=dY，原方程化为dY aX+bY+ah+bk+cdXa,X+bY +a,h+b,k +ciah+bk+c=0解出h，kAah+bk+ci=0福dy aX+bY(齐次方程)dx aX+b,Y

( h, k 为待 *二、可化为齐次方程的方程 ( 0) 2 1 2 c  c  1. , 当 1 1 时 b b a a  作变换 x  X  h , y  Y  k 则d x  d X , d y  dY , 原方程化为  a h  b k  c 1 1 1  a h  b k c 令 , 解出 h , k (齐次方程) 定常数)