第五节极限运算法则一、无穷小运算法则二、本极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则
二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则 一 、无穷小运算法则 第五节 极限运算法则
一、无穷小运算法则定理1.有限个无穷小的和还是无穷小证：考虑两个无穷小的和.设 lim α=0，lim β=0x→xoX→Xo>0,,>0,当0-x<时,有αS2>0,当0<-xo时,有β<取=min(8,8,,则当0<x-xo<8时,有α+α++=lim(α+β)=0因此x-→Xo这说明当x→xo时，α+β为无穷小量
min 1 , 2 , 时, 有 一、 无穷小运算法则 定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设 0 , 当 时 , 有 当 时 , 有 取 则当 0 0 x x 2 2 因此 这说明当 时, 为无穷小量
类似可证：有限个无穷小之和仍为无穷小说明：无限个无穷小之和不一定是无穷小！例如，limn-→o0
说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如， 1 1 1 lim n n n n 1 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小
定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小证:设VxU(xo,S), |u|≤M设limα=0,即>0,>0,当xU(xo2）X→Xo时,有α≤%取=min(i,2,则当 xU(xo,)时,就有uα=α|M=故limuα=，即uα是x→xo时的无穷小X→Xo推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设 u M 又设 lim 0, 0 x x 即 0 , 当 时, 有 M 取 min , , 1 2 则当 ( , ) 0 x U x 时 , 就有 u u M M 故 即 是 时的无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小
sinx例1.求limxX-00sinx解：：sinx≤llim == 0x-00 Xsinxlim利用定理2可知xX-80sinx的渐近线说明：y=0是yx
例1. 求 解: 0 1 lim x x 利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是 的渐近线 . x x y sin