第九节连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数的运算法则二、初等函数的连续性
一、连续函数的运算法则 第九节 二、初等函数的连续性 连续函数的运算与 初等函数的连续性
一、连续函数的运算法则定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和，差，积商（分母不为0）运算，结果仍是一个在该点连续的函数（利用极限的四则运算法则证明）例如，sinx,cosx连续一>tanx，cotx在其定义域内连续定理2.连续单调递增函数的反函数也连续单调递增（递减）(递减)（证明略）ysinxarcsinx例如，=sinx在[-，]上连续单调递增，其反函数y=arcsinx在[-1,1]上也连续单调递增
定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增. 在其定义域内连续 一、连续函数的运算法则 定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , ( 利用极限的四则运算法则证明) 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 例如, y sin x 在 上连续单调递增， 其反函数 y arcsin x (递减) (证明略) 在[1, 1]上也连续单调 (递减) 1 1 O x y 2 π 2 π 递增. sin x arcsin x
V又如，y=e"在(-00,＋)上连续单调递增,其反函数 = n x在y=lnx0，+80）上也连续单调递增x定理3.若limg(x)=uo，函数f(u)在点u.连续X-→XO则有lim f[g(x)=f(uo)=f[lim g(x)]X-→X0x→Xo注：1.定理的条件：内层函数有极限，外层函数在极限值点处连续2.将x→x换成x→可得类似的定理
在 上连续 其反函数 在 上也连续单调递增. 又如, x y O y ln x e x y 1 1 单调 递增, 定理3. 0 0 0 0 0 0 lim ( ) , ( ) , lim [ ( )] ( ) [lim ( )]. 若 函数 在点 连续 则有 x x x x x x g x u f u u f g x f u f g x 注: 1.定理的条件：内层函数有极限，外层函数 在极限值点处连续. 0 2.将x x x 换成 可得类似的定理
又如，=e"在(-00,＋)上连续单调递增,其反函数 y= lnx在y=lnx0，+80）上也连续单调递增x定理3.若limg(x)=uo，函数f(u)在点u.连续X-→XO则有lim f[g(x)=f(uo)=f[lim g(x)]X-XoX-→Xo意义：在定理的条件下，极限符号可以与函数符号互换，即极限号可以穿过外层函数符号直接取在内层
在 上连续 其反函数 在 上也连续单调递增. 又如, x y O y ln x e x y 1 1 单调 递增, 定理3. 0 0 0 0 0 0 lim ( ) , ( ) , lim [ ( )] ( ) [lim ( )]. 若 函数 在点 连续 则有 x x x x x x g x u f u u f g x f u f g x 意义: 在定理的条件下，极限符号可以与函数符号 互换，即极限号可以穿过外层函数符号直接 取在内层
x-3例1. 求limx?-9x-3x-3x-3解： y=Vx?-9可看作由y=u与u复合而成，x?-9x-3，且=V在点u=连续，所以由于lim60x-3x-3x-3limr-3
例1. 求 解: 可看作由 与 复合而成， 由于 且 在点 连续，所以