第七章第四节一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程*二、伯努利方程
一阶线性微分方程 第四节 一、一阶线性微分方程 *二、伯努利方程 第七章
一、一阶线性微分方程dy + P(x)y= Q(x)一阶线性微分方程标准形式dx若 Q(x)=0,称为齐次方程若 Q(x)丰0，称为非齐次方程dy+ P(x)y= 01.解齐次方程dxdy=-P(x)dx分离变量yIn|y|=-{P(x)dx + In|C两边积分得y=Ce-JP(x)dx故通解为
一、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: ( ) ( ) d d P x y Q x x y 若 Q(x) 0, ( ) 0 d d P x y x y 若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . 1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 ln y P(x)dx ln C 故通解为 P x x y C ( )d e 称为齐次方程 ;
d + P(x)y=Q(x)2.解非齐次方程dx用常数变易法: 作变换(x)=u(x)e-[ P(t)dx,则u'e-]P()dP()ueP()d+ P()dx=()duO(r)e / P(a)dx即dxu= Jo(x)eJ P(x)d*dx+C两端积分得故原方程的通解 y=-[P(o)d[『o(x)e P(a)ddx+c]即 = Ce-[P(x)dx+e-JP(x)dxJo(x)el P(x)d*dx齐次方程通解非齐次方程特解
P x x y C ( )d 对应齐次方程通解 e 齐次方程通解 非齐次方程特解 P x x C ( )d e 2. 解非齐次方程 ( ) ( ) d d P x y Q x x y 用常数变易法: ( ) ( ) e , ( ) P x x y x u x d 则 P x x u ( )d e P(x) P x x u ( )d e Q(x) 故原方程的通解 Q x x P x x P x x e ( ) e d ( )d ( )d y Q x x C P x x P x x e ( ) e d ( )d ( )d 即 y 即 作变换 P x x P x u ( )d ( ) e u Q x x C P x x ( ) e d ( )d 两端积分得
2ydy(x+1)例1.解方程dxx+1dy_ 2dxdy2y=0,即解：先解dxyx+1x+1积分得ln||=2ln|x+1|+lnC|，即y=C(x+1)用常数变易法求特解.令 =u(x)·(x+l)2,则y' = u' (x +l)? + 2u·(x+ 1)导 u'=(x+1)2代入非齐次方程得u=(x+1)% +C解得故原方程通解为 y=(x+1)[(x+1)~2+C
例1. 解方程 解: 先解 0 , 1 2 d d x y x y 即 1 d 2d x x y y 积分得 即 2 y C(x 1) 用常数变易法求特解. ( ) ( 1) , 2 y u x x 则 ( 1) 2 ( 1) 2 y u x u x 代入非齐次方程得 解得 u x 2 C 3 ( 1) 3 2 故原方程通解为 令
注意用变量代换将方程化为已知类型的方程dy例如，解方程dxx+ydx线性方程法1.取作自变量=x+ydydydu法2.作变换u=x+y，则y=u-x,dxdxdu代入原方程得dxuduu+l可分离变量方程dxu
注意用变量代换将方程化为已知类型的方程 例如, 解方程 x x y y 1 d d x y y x d d u x y, y u x, 1 d d d d x u x y 法1. 取 y 作自变量: 线性方程 法2. 作变换 则 代入原方程得 , 1 1 d d x u u u u x u 1 d d 可分离变量方程