第七节无穷小的比较引例.x→0时,3x,x2,sin x都是无穷小,但sinxlimlim=03x3x→03xx-01sinxlimx-0可见无穷小趋于0的速度是多样的
x 0 时, 3 x , x , sin x 2 都是无穷小, 第七节 引例 . x x x 3 lim 2 0 0 , 2 0 sin lim x x x , x x x 3 sin lim 0 , 3 1 但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 无穷小的比较
定义.设α，β是自变量同一变化过程中的无穷小若 limB=0,则称β是比α高阶的无穷小,记作αβ = o(α)nB=,则称 β是比α 低阶的无穷小;若limα,B=C0， 则称β是α 的同阶无穷小;若limαβ若lim=C±0.则称β是关于α的k阶无穷小kd若 limB=1,则称 β是α 的等价无穷小,记作α~βa或β~α
lim C 0, k 定义. lim 0, 若 则称 是比 高阶的无穷小, o( ) lim , 若 若 若 lim 1, 若 ~ ~ lim C 0, 或 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作 则称 是比 低阶的无穷小; 则称 是 的同阶无穷小; 则称 是关于 的 k 阶无穷小; 则称 是 的等价无穷小, 记作
例如，当x→0 时x3=o(6x2); sinx～x; tanx～xarcsinx~x又如，2sin1-cosxlim=lim4()2x-0x-0故x→0时1-cosx是关于x的二阶无穷小，且1 - cos x~
例如 , 当 o( ) ～ x 0 时 3 x 2 6x ; sin x x ; tan x ～ x arcsin x ～ x 2 0 1 cos lim x x x 2 2 0 2sin lim x x 又如 ， 2 2 4( ) x 2 1 故 时 是关于 x 的二阶无穷小, 1 cos x 2 2 1 ～ x 且
例1.证明：当x→0时,1+x-1～=,nn/1+x-1证：lim1xx-0a" -b" = (a-b) (an-l +an-2b +...+bn-l)分子=x(n/1+x)-1= limx-01x [("1+x y~- +(°/1+x )~-2 +..+1]:.当x→0时, n/1+x-1～n
例1. 证明: 当 时, ～ 证: ～ n n a b (a b) 1 ( n a a b n2 ) 1 n b
例2.证明：e-1~x.证：令=e-1,则x=ln(1+y),且x→0时,→0因此Llimlimlimy=0 1 In(1+ y)y→>o ln(1 + y)-0x1= limIney→0 ln(1 + y)即有等价关系：e-1~x说明：上述证明过程也给出了等价关系In(1 +x) ~ x
例2. 证明: 证: 因此 即有等价关系: 说明: 上述证明过程也给出了等价关系: